Beobachtungen an freien Kurven


Hinweis:
Doppelklick auf ein blau umrandetes Bild öffnet eine interaktives Cinderella-Applet


Eine Gerade kann als Punktreihe gesehen werden. Wir markieren auf ihr 2 Punkte A und E als Anfangs- und Endpunkt einer Strecke [Hierbei beziehen wir uns auf den endlichen Teil,also den Abschnitt, der die Ferngerade nicht schneidet].



Ein Punkt kann als Geradenbüschel  gesehen werden. Wir markieren 2 seiner Strahlen a und e als Anfangs- und Endstrahl des sich daraus ergebenden Winkels [Auch hier ist eine Entscheidung zwischen zwei Winkelfeldern zu treffen.  In der polareuklischen  Geometrie trifft man diese Festlegung in Bezug auf einen absoluten Mittelpunkt aM - dem Dual zur Ferngeraden in der Euklidischen Geometrie. Das "endliche" Winnkelfeld ist also dasjenige, indem nicht der Punkt aM liegt.]


 Jetzt "ziehen" wir die Punktreihe etwas von ihrer Trägergeraden weg. Dabei entsteht ein einfacher (Punkt-)Bogen:



A und E können mit der Maus frei bewegt werden. Der Kontrollpunkt C erlaubt es, den Bogen unterschiedlich stark auszugestalten.

Die Punkte folgen einer Bezier-Kurve, der eine einfache geometrische Konstruktion zugrunde liegt. Diese Konstruktion lässt  sich dualisieren. Statt der 3 Punkte geht man dann von 3 Geraden aus - siehe rechts.

Jetzt  "ziehen" wir das Strahlenbüschel etwas von seinem Trägerpunkt weg. Dabei entsteht ein einfacher (Geraden-)Bogen:



a und e können mit der Maus um ihren Schnittpunkt gedreht werden. Die Kontrollgerade c kann mittels der 2 Stützpunkte bewegt werden.  Hier macht sich bereits eine "Asymmetrie" unserer heutigen Welt bemerkbar:  die Computermaus entspricht klar dem Punktkonzept. Dual dazu bräuchte man eine "Geradenmaus"...

Um mehr Flexibilität für die Punktkurve zu bekommen, kann die Anzahl der Kontrollpunkte erhöht werden - hier im Beispiel sind es die 4 Punkte A, B, C, E:



Blende zunächst die Tangentenkurve aus und spiele mit dem Bogen, z.B.:

 

Man kann schön erleben, wie die Punktreihe ganz regulär der Bewegung der Kontrollpunkte folgt. Nehmen wir die Tangenten mit hinzu: sie breiten sich wie ein blaues Tuch um die Kurve, hüllen sie von einer Seite ein. Strukturell etwas Neues tritt auf beim Übergang von einem links zu einem Rechtsbogen: Hier bekommt das "Tangententuch" eine neue Falte, die klar von der Wendetangente begrenzt wird. Diese Stelle der Kurve bezeichnet man als singulär unter dem Geradenaspekt.


Der duale 4-Geraden-Bogen verhält sich zunächst sehr ähnlich: die Kontrollgeraden a und e (rot) können jeweils um einen Stützpunkt - den gemeinsamen Punkt mit den Kontrollgeraden b und c (orange)- gedreht werden. Ferner können diese beiden Stützpunkte sowie der Schnittpuinkt von b und c verschoben werden:



Blende zunächst die Punktkurve aus und spiele mit dem Bogen. Beachte, dass sich die Konstruktion ändert, wenn eine der Geraden den absoluten Mittelpunkt aM überstreicht:

Frage:  Welche Lage der Kontrollgeraden ist dual zu den links stehenden Beispielen?
Es gibt jedoch auch Ausnahmestellungen der Kontrollpunkte, für die der Punktbogen an einer Stelle zu einer Spitze entartet. Diese punkthafte Singularität bezeichnet man als Dornspitze.