Eine
Gerade kann als Punktreihe
gesehen
werden. Wir markieren auf ihr 2 Punkte A und E als Anfangs-
und Endpunkt einer Strecke [Hierbei beziehen wir uns auf
den endlichen Teil,also den Abschnitt, der die Ferngerade nicht schneidet]. |
Ein
Punkt kann als
Geradenbüschel
gesehen
werden. Wir markieren 2 seiner Strahlen a und e als Anfangs-
und Endstrahl des sich daraus ergebenden Winkels [Auch
hier ist eine Entscheidung zwischen zwei Winkelfeldern zu treffen.
In der polareuklischen Geometrie trifft man diese
Festlegung in Bezug auf einen absoluten Mittelpunkt aM - dem Dual zur
Ferngeraden in der Euklidischen Geometrie. Das "endliche" Winnkelfeld
ist also dasjenige, indem nicht der Punkt aM liegt.] |
Jetzt "ziehen" wir die Punktreihe etwas von ihrer
Trägergeraden weg.
Dabei entsteht ein einfacher
(Punkt-)Bogen: A und E können mit der Maus frei bewegt werden. Der Kontrollpunkt C erlaubt es, den Bogen unterschiedlich stark auszugestalten. Die Punkte folgen einer Bezier-Kurve, der eine einfache geometrische Konstruktion zugrunde liegt. Diese Konstruktion lässt sich dualisieren. Statt der 3 Punkte geht man dann von 3 Geraden aus - siehe rechts. |
Jetzt
"ziehen" wir das Strahlenbüschel etwas von seinem
Trägerpunkt weg. Dabei entsteht ein einfacher (Geraden-)Bogen: a und e können mit der Maus um ihren Schnittpunkt gedreht werden. Die Kontrollgerade c kann mittels der 2 Stützpunkte bewegt werden. Hier macht sich bereits eine "Asymmetrie" unserer heutigen Welt bemerkbar: die Computermaus entspricht klar dem Punktkonzept. Dual dazu bräuchte man eine "Geradenmaus"... |
Um mehr Flexibilität für die Punktkurve zu
bekommen, kann die Anzahl der Kontrollpunkte erhöht werden - hier
im Beispiel sind es die 4 Punkte A, B, C, E: Blende zunächst die Tangentenkurve aus und spiele mit dem Bogen, z.B.:
Man kann schön erleben, wie
die Punktreihe ganz regulär der Bewegung der Kontrollpunkte
folgt. Nehmen wir die Tangenten mit hinzu: sie breiten sich wie ein
blaues Tuch um die Kurve, hüllen sie von einer Seite ein.
Strukturell etwas Neues tritt auf beim Übergang von einem links zu
einem Rechtsbogen: Hier bekommt das "Tangententuch" eine neue Falte,
die klar von der Wendetangente begrenzt wird. Diese Stelle der Kurve bezeichnet man als singulär unter dem Geradenaspekt.
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Der duale 4-Geraden-Bogen
verhält sich zunächst sehr ähnlich: die Kontrollgeraden
a und e (rot) können jeweils um einen Stützpunkt - den
gemeinsamen Punkt mit den Kontrollgeraden b und c (orange)- gedreht
werden. Ferner können diese beiden Stützpunkte sowie der
Schnittpuinkt von b und c verschoben werden: |
Es gibt jedoch auch Ausnahmestellungen der Kontrollpunkte,
für die der Punktbogen an einer Stelle zu einer Spitze entartet.
Diese punkthafte Singularität bezeichnet man als Dornspitze. |
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