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| 1966-1969 | Studium der Mathematik und Physik |
| 1972 | Promotion (Dr. rer. nat.) in Mathematik |
| 1977 | Habilitation |
| 1969-1978 | wissenschaftlicher Assistent bzw. Dozent, alles an der Philipps-Universität Marburg |
| 1978-1979 | Professor (C2) an der Ludwig-Maximilians-Universität München |
| 1979-1983 | Professor (C3) an der Universität-Gesamthochschule Duisburg |
| 1983-1995 | Professor (C4) an der Universität Augsburg |
| seit 1995 | Professor (C4) für Mathematik/Analysis an der Humboldt-Universität zu Berlin |
Wichtige Forschungsaufenthalte
| 1982 | Gastprofessor an der Northeastern University |
| 1984-1985 | Gastprofessor am MIT |
| 1990 | Gastprofessor an der Universität Nagoya |
| 1991 | Gastprofessor an der Ohio State University |
| 1991 | Gastprofessor an der Universität Aarhus |
| 1992 | Gastprofessor an der Tohoku-University, Sendai |
| mehrfach | Gastforscher am SFB 72 Bonn |
| mehrfach | Gastforscher am MPI für Mathematik, Bonn |
| mehrfach | Gastforscher am Institut des Hautes Etudes Scientifiques, Bures-sur-Yvette |
| 1992 | Gastforscher am Institute for Advanced Studies, Princeton |
| 1995 | Gastprofessor an der Université Paris-Nord |
| 1996 | Gastforscher am Fields Institute, Toronto |
| 1998 | Gastprofessor an der Université Paris-Sud |
Herausgebertätigkeit: Mitherausgeber der Zeitschriften Analysis,
Mathematische Nachrichten, Southeast Asian Mathematical Bulletin und der
Buchreihen Teubner-Texte Mathematik, Mathematics Past and Present (Springer)
Eines der zentralen Motive der Geometrischen Analysis ist die Untersuchung
der ,,geometrischen Differentialoperatoren`` und ihrer Beziehungen zur
Geometrie des untersuchten Raumes. Dabei bestehen enge Beziehungen zwischen
den analytischen Eigenschaften der Operatoren (insbesondere ihrer Spektraltheorie
und der sich daraus ergebenden spektralen Invarianten) und gewissen Charakteristiken
des zugrundeliegenden Raumes. Dabei kann es sich um topologische Invarianten
handeln, wie die Bettizahlen, oder um geometrische, wie Volumen oder Krümmung.
Im Falle kompakter Mannigfaltigkeiten ist dieses Wechselspiel weitgehend
verstanden. Für Räume, die gewisse Singularitäten aufweisen,
treten neue Phänomene und Schwierigkeiten auf. Dies ist von Interesse,
weil die in der Natur vorkommenden Strukturen nur selten befriedigend durch
glatte kompakte Mannigfaltigkeiten modelliert werden können; die moderne
Kosmologie z.B. hat es mit gravierenden Singularitäten zu tun wie
dem Urknall oder schwarzen Löchern. Auf singulären Räumen
sind grundlegende Operatoreigenschaften (Fredholmeigenschaft, Diskretheit),
die im kompakten Fall gelten, nun keineswegs mehr evident. Dabei kann es
sich sowohl um metrisch unvollständige wie vollständige Räume
handeln; im letzteren Fall liefern die Schrödinger-Operatoren eine
wichtige Beispielklasse, auf deren Spektralanalyse wesentlich die Quantenmechanik
beruht. Mit den Projekten der Arbeitsgruppe ,,Geometrische Analysis und
Spektraltheorie`` soll zur Untersuchung geometrischer Differentialoperatoren
auf singulären Räumen ein Beitrag geleistet werden. Wichtige
Ziele sind die Entwicklung von Fredholm- und Diskretheitskriterien, die
Herleitung von Indexsätzen (im Fredholmfall) und asymptotischen Entwicklungen
(im diskreten Fall) für die Resolventenspur; in allgemeineren Situationen
ist es aus physikalischen Gründen wichtig, das wesentliche Spektrum
und die Natur des Spektrums zu beschreiben. Dabei ist die Spektraltheorie
in vielfacher Hinsicht entscheidend nicht nur für die Lösungstechnik,
sondern auch für die Struktur der zu erwartenden Antwort; deshalb
sind die meisten der neueren Invarianten (
-Invariante,
analytische Torsion etc.) mittels geeigneter Spektralgrößen
definiert. Im Rahmen dieses großen Forschungsthemas, das die Arbeitsgruppe
seit mehreren Jahren beschäftigt und auch in der Zukunft noch für
einige Zeit beschäftigen wird, wurden im Berichtszeitraum u.a. die
im folgenden vorgestellten Problemkreise bearbeitet.
Projekt 1:
| Allgemeine Methoden und Modelloperatoren in der Spektraltheorie singulärer Räume |
Beteiligte Wissenschaftler: Priv.-Doz. Dr. Matthias Lesch, Dr. Michael Gruber
Kooperationspartner: Prof. Dr. R. Seeley (Boston), Prof. Dr. H. Moscovici (Columbus)
Im vorliegendem Projekt 1 werden, vorwiegend mit funktionalanalytischen
Methoden, möglichst allgemeine und flexible Modelle für die Spektraltheorie
singulärer Räume entwickelt. Dies trägt der Tatsache Rechnung,
daß in der großen Vielgestaltigkeit singulärer Situationen
ordnende Überlegungen nur von geeigneten Modellen sowie ihren Störungen
und Kombinationen ausgehen können. Ein wichtiger Ausgangspunkt unserer
Untersuchungen ist die von Cheeger initiierte und von Brüning und
Seeley ausgebaute regulär-singuläre Analysis, die sich mit regulär-singulären
gewöhnlichen Differentialoperatoren mit Operatorkoeffizienten beschäftigt,
weil sie das Verhalten der Kegel-Singularitäten beherrschen, die zu
den in jeder Hinsicht grundlegenden Singularitäten gehören. Mir
diesem Themenkreis beschäftigen sich die Abhandlungen [5],[6] und
[7]. Ein anderer Schwerpunkt unserer Untersuchungen betraf die Modelloperatoren
für Mannigfaltigkeiten mit Rand (Randwertprobleme), deren Theorie
wir wesentlich verallgemeinern und vereinfachen konnten; die ersten Veröffentlichungen
dazu sind [2] und [3]. Einen anderen Zusammenhang, nämlich die Modelloperatoren
vollständiger Mannigfaltigkeiten mit kokompakten Gruppenoperationen,
behandelt die Dissertation von M.Gruber, die sich Methoden der Nichtkommutativen
Geometrie bedient [4]. In [1] werden schließlich die Grundlagen der
asymptotischen Analysis mit Singularitäten erweitert, die für
die asymptotische Entwicklung von Resolventenspuren benötigt werden.
Ein etwas anderer Ansatz wird in den Publikationen [8],[9] und [10] verfolgt,
in denen es um moderne algebraische Methoden zur Berechnung von Invarianten
singulärer Räume geht, deren Ergebnisse u.a. als wichtige Orientierung
für weitere analytische Untersuchungen dienen.
Publikationen
Projekt 2:
| Spektraltheorie in geometrischen Fragestellungen |
Beteiligte Wissenschaftler: Priv.-Doz. Dr. Matthias Lesch, Dr. Daniel Grieser, Dr. Xiaonan Ma
Kooperationspartner: Prof. Dr. W. Ballmann (Bonn), Prof. Dr. R. Seeley (Boston), Prof. Dr. H. Moscovici (Columbus)
In diesem Arbeitsbereich werden die Modelluntersuchungen auf konkrete
geometrische Fragen angewandt oder Spezialfälle untersucht, die Anstöße
für die weitere Entwicklung erwarten lassen; überwiegend sind
die Ergebnisse von unabhängigem Interesse. Ein sehr wichtiger Gegenstand
der Untersuchungen sind Indexsätze für singuläre Räume
in der unterschiedlichsten Form, die in den Untersuchungen [1,12,13,14]
behandelt werden. Üblicherweise führen gerade solche Indexformeln
auf neue Invarianten, deren Eigenschaften dann gründlich studiert
werden müssen; diesem Problemkreis widmen sich die Arbeiten [2,15,16,17,18].
Die volle Spektraltheorie spezifischer Räume wird in [1] (Flächen
mit Spitzen) und in [3,4] (Mannigfaltigkeiten mit Rand) behandelt. Eine
Beispielklasse von großem Interesse (und großer Schwierigkeit)
sind die algebraischen Varietäten; Untersuchungen spezieller Fragen
enthalten die Publikationen [6,7,10,19]. Besonders interessant, aber auch
besonders schwierig sind Untersuchungen zu den Eigenfunktionen in singulären,
aber auch in regulären Situationen; solchen Fragen widmen sich die
Arbeiten [5,8,9].
Publikationen
-invariant
of certain nonlocal boundary value problems. Duke Math. J. 96 (1999), 425-468.
-Stokes
theorem and Hodge theory for singular algebraic varieties. Preprint SFB
288, 1999.
Projekt 3: Spektraltheorie in physikalischen Fragestellungen
Beteiligte Wissenschaftler: Dr. Michael Gruber, Dr. Markus Pflaum
Kooperationspartner: Prof. Dr. S. Albeverio (Bonn), Prof. Dr. T. Sunada (Sendai), Prof. Dr. R. Seiler (TU Berlin), Prof. Dr. R. Schrader (FU Berlin), Prof. Dr. S. Dobrokhotov (Moskau), Prof. Dr. V. Geyler (Saransk)
Diese Untersuchungen betreffen zunächst Verallgemeinerungen der
Spektraltheorie des Schrödingeroperators mit periodischem elektrischem
Potential auf den Fall von periodischen Magnetfeldern. In diesem Fall weist
der Operator keine Vertauschbarkeit mehr mit einer üblichen Gruppenaktion
auf, sondern nur noch mit einer projektiven; wir sprechen dann von eichinvarianten
elliptischen Differentialoperatoren. In den Arbeiten [1,2] wird für
eine größere Klasse von Operatoren gezeigt, daß das Spektrum
als Menge sich verhält wie vom periodischen Schrödingeroperator
her bekannt, wenn eine mit der Gruppe natürlich verbundene 
-Algebra
die sogenannte KADISON-Eigenschaft besitzt. Hier kommen
Begriffsbildungen der Nichtkommutativen Geometrie ins Spiel, die in [3]
systematisch ausgebaut werden zu einem neuen theoretischen Rahmen von großer
Reichweite. Es stehen nun Verfeinerungen der allgemeinen Theorie an auf
wohlbekannte spezifische Situationen und Anwendungen auf neue Phänomene;
[4,5] bieten erste Beispiele für dieses Programm. Ein anderer Schwerpunkt
unserer Arbeitsgruppe ist der Ideenkreis der Deformationsquantisierung,
der durch die Arbeiten von Kontsevich neues Gewicht gewonnen hat. Einige
weiterführende Untersuchungen in dieser Richtung liefern die Arbeiten
[6,7,8].
Publikationen