Prof. Dr. Bernd Bank

 

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Wissenschaftlicher Werdegang
1959-1965 Studium der Angewandten Mechanik an der TU Magdeburg
1965-1969 wissenschaftlicher Assistent am I. Mathematischen Institut der TU Magdeburg
1969 Promotion (Dr. rer. nat.) an der TU Magdeburg
1969-1972 wissenschaftlicher Assistent und Lektor an der Sektion Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin
1972-1987 Dozent an der Humboldt-Universität zu Berlin
1977 Promotion B an der Humboldt-Universität zu Berlin
1987 a.o. Professor an der Humboldt-Universität zu Berlin
seit 1993 Univ-Professor für Mathematik/Diskrete Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin
1992-1995 Erster Vizepräsident der Humboldt-Universität zu Berlin

Wichtige Forschungsaufenthalte
2000 Forschungsprofessur, École Polytechnique, Paris-Palaiseau, Frankreich
1998 MSRI, Berkeley, USA
1998 Universidad de Cantabria, Santander, Spanien
1998 École Polytechnique, Paris-Palaiseau, Frankreich
1998 Gastprofessur, Universidad del Uruguay, Fac. de Ingeneria, Uruguay
1997 Gastprofessor, Universidad de Buenos Aires, Dept. de Matemática, Argentinien
1995 Universidad de Cantabria, Santander, Spanien

(davor Gastprofessuren an den Universitäten: Havanna (Kuba), Simon Bolivar, (Caracas, Venezuela), TU Graz, Montevideo (Uruguay), CONICET (Buenos Aires, Argentinien), Pisa (Italien), McGill (Montreal, Kanada)

Herausgebertätigkeit: Mitherausgeber der Zeitschriften Convex Analysis (Univ. Montpellier 2), Investigación Operational (Univ. Havanna), Proceedings of the Third International Conference on Approximation and Optimization in the Caribbean III, Puebla, Mexico 1995, in: Aportaciones Matematicas, Serie Comunicaciones, No. 24, 1999
 

Projekt 1:
Effiziente Lösung reeller algebraischer Gleichungen

Beteiligte Wissenschaftler: Prof. Dr. Marc Giusti (École Polytechnique, Paris-Palaiseau, Frankreich), Prof. Dr. Joos Heintz (Universidad de Cantabria, Santander, Spain; Universidad de Buenos Aires, Argentinien), Dipl.-Math. Guy Mbakop (bis 12.1999 HUB), Dipl.-Math. Lutz Lehmann, cand.-math. Bernd Wiebelt (beide HUB)

Das Projekt ist eingebunden in die mittel- und langfristige Forschung der informell organisierten internationalen Projektgruppe TERA (Akronym für Turbo Evaluation and Rapid Algorithms), die 27 Wissenschaftler von sieben Universitäten und Forschungseinrichtungen in Argentinien, Deutschland, Frankreich und Spanien zusammenführt, deren Forschungsvorhaben sich um zwei Aufgaben, eine praktische und eine theoretische, ranken.
Die praktische Aufgabe besteht in der Entwicklung einer Programmbibliothek zur Lösung gewisser, augewählter, parametrischer multivariater polynomialer Gleichungssysteme (und gewisser parametrischer Algebro-Differentialgleichungen), die in den Anwendungen von Natur- und Ingenieurwissenschaften auftreten.
Die theoretische Aufgabe jedoch, die auch als kontra-produktiv zu einem allgemeinen Vorgehen verstanden werden kann, besteht in der Suche nach einem definitiven (d.h. von offenen Vermutungen in Mathematik und Computer Science unabhängigem) Beweis der Hypothese, daß nur gewisse, wohl-situierte, polynomiale Gleichungssyteme eine effiziente Lösung gestatten.
Bez. TERA siehe:
http://tera.medicis.polytechnique.fr/index-fr.html
(Hier sind auch die im folgenden zitierten Arbeiten abrufbar).
Unser erstes Hauptergebnis bezieht sich auf das Problem der Bestimmung eines repräsentativen Punktes in jeder Zusammenhangskomponente einer rellen, kompakten und glatten Hyperfläche. Dazu wurde (zum ersten Mal) eine neue von Heintz/Giusti/
Morais/Morgenstern/ Pardo (1995, 1998) stammende Methode zur symbolischen Lösung von multivariaten polynomialen Gleichungssystemen über den komplexen Zahlen auf den reellen Fall angewendet.
Der Algorithmus von Heintz/Giusti/Morais/Morgenstern/ Pardo (1995, 1998), dessen eines Hauptmerkmal der Gebrauch von problem-orientierten Datenstrukturen, nämlich arithmetischen Netzwerken und Schaltkreisen (straight-line programs), ist, findet die komplexen Nullstellen jedes affinen, null-dimensionalen Gleichungssystems in nicht-uniformer, sequentieller Zeit, welche polynomial in der Länge des Inputs (als straight-line program kodiert) und einem adäquat definierten geometrischen Grad des Gleichungssystems ist.
Gewisse polare Varietäten, welche sich der Gleichung der gegebenen reellen Hyperfläche zuordnen lassen, und für die wir einen geeigneten (reellen bzw. komplexen) Grad einführen können, liefern ein affines null-dimensionales Gleichungssystem, welches unter der Voraussetzung, daß die reelle Hyperfläche nicht leer ist, reelle Lösungen hat, die aus jeder Zusammenhangskomponente der rellen Hyperfläche mindestens einen Punkt beschreiben. Die Adaptation der komplexen Methode auf den reellen Fall ergibt einen Algorithmus, der diese Punkte (in geeigneter Kodierung) mit einer Komplexität findet, die polynomial in der Länge des Inputs (straight-line program Kodierung der Gleichung der Hyperfläche) und dem Grad der polaren Varietäten ist.
Unser zweites Hauptergebnis betrifft die Verallgemeinerung der zitierten Ergebnisse im Hyperflächenfall auf den Fall einer vollständigen Durchschnittsvarietät:
Sei $S_0$ eine glatte, kompakte reelle Varietät, die durch eine reduzierte reguläre Folge von Polynomen $f_1, \ldots ,f_p$ gegeben ist. Das algorithmische Problem besteht wieder darin, in effizienter Weise in jeder Zusammenhangskomponente der reellen Varietät $S_0$ einen Repräsentanten zu finden.
Zu diesem Zweck konnten wir explizit (codim-viele) polynomiale Gleichungen angeben, die die generischen polaren Varietäten von $S_0$ beschreiben. Dies führte zu einer Prozedur, die das algorithmische Problem in einer Zeit löst, die polynomial in der Länge des Inputs (straight-line program -Kodierung der Polynome $f_1, \ldots ,f_p$) und in einem geeignet- definierten geometrischen (intrinsic) Parameter (Grad der reellen Interpretation) des Gleichungssystems $f_1, \ldots ,f_p$ ist.
Die Methode von Heintz/Giusti/Morais/Morgenstern/Pardo wird im Lab. GAGE, École Polytechnique, Paris-Palaiseau, von Grégoire Lecerf im Paket KRONECKER auf der Basis von Magma implementiert und läuft derzeit als Prototyp. Siehe:
http://www.medicis.polytechnique.fr/ lecerf/software/kronecker/index.html
Lutz Lehmann und Bernd Wiebelt implementieren zur Zeit (der Berichterstattung) den reellen Algorithmus auf der Basis des Paketes KRONECKER, erste Tests liegen vor.
 

Projekt 2:
Polynomiale (ganzzahlige) Optimierungsaufgaben - Komplexität, Berechenbarkeit und Verfahren

Beteiligte Wissenschaftler: wie beim Projekt 1 sowie M.S. Erich Zenith Vivas (HUB)

Das Konsistenzproblem für polynomiale (ganzzahlige) Ungleichungssysteme gehört, falls die Polynome als Funktionen in $n$ Variablen quasikonvex sind und unter dichter Kodierung der Polynome, zur Komplexitätsklasse NEXPTIME. Algorithmen mit kleinerer Komplexität sind nur zu erwarten, wenn angepaßte Datenstrukturen Anwendung finden können.
Die im Projekt 1. entwickelten Algorithmen sollen auf spezielle polynomiale Optimierungaufgaben angewandt werden.
 

Drittmittel: Die Arbeitsgruppe wird vom BMBF im Rahmen der bilateralen wissenschaftlich-technologischen Zusammenarbeit mit Argentinien (OpTERA, ARG 018/98 INF) sowie von der DFG (BA 1257/4-1) gefördert.
 

Publikationen

[1]
Bank, B.; Krick, T.; Mandel, R.; Solerno, P.: A geometrical bound for integer programming with polynomial constraints. In: Budach, L. (ed.): Fundamentals of Computation Theory, FCT'91. Lecture Notes in Computer Science 529. Springer Verlag, 1991.
[2]
Bank, B.; Heintz, J.; Krick, T.; Mandel, R.; Solerno, P.: Computability and complexity of polynomial optimization problems. In: Krabs; Zowe (eds.): Modern Methods of Optimization. Lecture Notes in Economics and Mathematics 378, Springer Verlag, 1992.
[3]
Bank, B.; Heintz, J.; Krick, T.; Mandel, R.; Solerno, P.: Une borne optimale pour la programmation entière quasiconvexe. Bull. Soc. Math. France 121, 1993.
[4]
Bank, B.; Giusti, M.; Heintz, J.; Mandel, R.; Mbakop, G.: Polar varieties and efficient real equation solving: The hypersurface case. Preprint 96-10, Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, 1996. Erscheint in: Approximation and Optimization in the Caribbean III.
[5]
Bank, B.; Giusti, M.; Heintz, J.; Mbakop, G.: Polar varieties, real equation solving and data-structures: The hypersurface case. J. Complexity 13 (1997) 1, 5-27. Best Paper Award J. Complexity 1997.
[6]
Bank, B.; Giusti, M.; Heintz, J.; Mbakop, G.: Polar Varieties and Efficient Real Elimination. MSRI Preprint 1999-056, Berkeley, USA.
[7]
Lehmann, L.: Effektives reelles Lösen einer multivariaten polynomialen Gleichung. Diplomarbeit, Humboldt-Universität zu Berlin, 1999.
[8]
Mbakop, G. M.: Effiziente Lösung reeller Polynomialer Gleichungsysteme. Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 1999.
[9]
Bank, B.; Giusti, M.; Heintz, J.; Mbakop, G.: Polar Varieties and Efficient Real Elimination. Erscheint in: Math. Z..