Prof. Dr. Ernst-Wilhelm Zink

 

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Wissenschaftlicher Werdegang
1963 - 1969 Studium der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin
1969 - 1991 Assistent bzw. Mitarbeiter am Institut für Reine Mathematik der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (zuletzt Karl-Weierstraß-Institut für Mathematik der Akademie der Wissenschaften der DDR)
1974 Promotion (Dr. rer. nat.) an der Humboldt-Universität zu Berlin
1984 Promotion B an der Akademie der Wissenschaften der DDR
1992 - 1993 Mitarbeiter der Max-Planck-Arbeitsgruppe ,,Algebraische Geometrie und Zahlentheorie`` and der Humboldt-Universität
seit 1993 Professor (C4) für Mathematik/Algebra an der Humboldt-Universität zu Berlin

Projekt 1:
Irreduzible Darstellungen zentraler einfacher Algebren über lokalem Körper

Beteiligte Wissenschaftler: M. Grabitz (Doktorand), Dr. P. Broussous (Université de Poitiers), Prof. Dr. A. J. Silberger (Cleveland State University)

Die Darstellungen der multiplikativen Gruppen $A^{\times}$ aller über einem lokalen Körper $F$ zentralen, einfachen Algebren$A$ derselben Dimension $n^2$, stehen in enger Beziehung zueinander. Dies wurde durch das Langlands'sche Funktorialitätsprinzip vorhergesagt und von Jacquet Langlands ($n = 2$) und Deligne, Kazhdan, Vigneras ($n$ allgemein) in einem abstrakten Vergleichssatz bewiesen. Grundlage der Beziehung ist eine Charakteridentität, welche aber nichts darüber aussagt, wie sich andere für die explizite Konstruktion der Darstellungen wichtige Parameter entsprechen. Hier sind insbesondere die $K$-Typen zu nennen (= ausgezeichnete irreduzible Darstellungen offener kompakter Untergruppen), welche im zerfallenden Fall
$A^{\times} = GL_n (F)$ von Bushnell und Kutzko eingehend studiert wurden.
Herr Grabitz wird in seiner Dissertation einen Teil dieser Resultate für die nichtzerfallenden Algebren $A$ verallgemeinern. Damit wird es möglich, die sogenannten einfachen Charaktere (eine Vorstufe zur Konstruktion der$K$-Typen) zwischen den verschiedenen Algebren hin- und her zu schieben und wir erwarten, daß dies mit dem abstrakten Vergleichssatz konform ist. Für die sogenannten Niveau-$0$-Darstellungen hat man die $K$-Typen bereits für alle$A$ zur Verfügung, kann die Hecke-Algebren berechnen und die gewünschten Entsprechungen nachweisen. Zwei gemeinsame Arbeiten dazu sind in Vorbereitung.
 

Publikationen

[1]
Broussous, P.; Grabitz, M.: Pure elements and intertwining classes of simple strata in local central simple algebras. Erscheint in: Communications in Algebra.
[2]
Grabitz, M.: Continuation of hereditary orders in local central simple algebras, Journal of Number Theory 77 (1999), 1-26.
[3]
Silberger, A.J.; Zink, E.-W.: The characters of the generalized Steinberg representations of finite general linear groups on the regular elliptic set. Erscheint in: Transactions of the American Mathematical Society.
[4]
Zink, E.-W.: More on Embeddings of Local Fields in Simple Algebras, Journal of Number Theory 77 (1999), 51-61.


Projekt 2:
$K$-Typen für temperierte Darstellungen

Beteiligte Wissenschaftler: Prof. Dr. P. Schneider (Münster).

Während sich Darstellungen endlicher oder kompakter Gruppen direkt in ihre Primärkomponenten zerlegen, weiß man durch ein Resultat von J. Bernstein für $p$-adische Gruppen, daß die kanonischen direkten Zerlegungen wesentlich gröber sind. Damit ist auch das Auflösungsvermögen von $K$-Typen begrenzt, denn sie können Darstellungen aus ein- und derselben Bernstein Komponente nicht unterscheiden. Für die Teilkatgorie der temperierten Darstellungen wurde schon früher von Harish-Chandra eine feinere Zerlegung etabliert und wir haben die Frage untersucht, ob man die Theorie der $K$-Typen dann entsprechend verfeinern kann. Zunächst wurde nur die Gruppe $GL_n$ untersucht. wobei sich herausstellte, daß die Harish-Chandra Zerlegung für temperierte Darstellungen zu einer natürlichen Stratifizierung der direkt unzerlegbaren Bernstein-Komponenten führt.
 

Publikationen

[1]
Schneider, P.; Zink, E.-W.: $K$-types for the tempered components of a $p$-adic general linear group, Journal für die reine und angewandte Mathematik 517 (1999), 161-208.


Projekt 3:
Darstellungstheorie und harmonische Analysis auf $p$-adischen Gruppen

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. V. Heiermann

Herr Dr. Heiermann war bis November 1997 als Feodor Lynen-Stipendiat der Alexander von Humboldt-Stiftung an der Universität Paris 7. Dort hat er auf Anregung von J. L. Waldspurger am Beweis eines matriziellen Paley-Wiener Satzes für $p$-adische Gruppen gearbeitet. Diese Arbeit wurde in Berlin zum Abschluß geführt. Im Anschluß daran und motiviert durch einen Aufenthalt am Institute for Advanced Study, Princeton im Wintersemester 1998/99 hat er sich Fragen über Darstellungen der diskreten Serie zugewandt. Die Beantwortung dieser Fragen wäre ein wichtiger Baustein für das Verständnis der Darstellungen $p$-adischer Gruppen insgesamt. An dem in Princeton von Prof. G. Lusztig organisierten Programm über geometrische Methoden in der Darstellungstheorie hat er aktiv teilgenommen.
 

Publikationen

[1]
Heiermann, V.: Une formule de Plancherel pour l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif p-adique, Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Preprint Nr. 98-11, 1998.
[2]
Heiermann, V.: Une caractérisation semi-simple des $L 2$-paires de Lusztig, Institute for Advanced Study, 1999.


Projekt 4:
Selbergsche Spurformel und Anwendungen

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. W. Hoffmann, Dr. A. Deitmar (Heidelberg)

Im Jahr 1997 begann Herr Dr. Hoffmann im Anschluss an seine Habilitationsschrift mit der Untersuchung von Limesvielfachheiten für Räume automorpher Formen auf einer reellen reduktiven Gruppe $G$. Zentral in dieser Theorie ist eine Vermutung von deGeorge und Wallach, dass die Vielfachheiten der Darstellungen von $G$ im Raum der $\Gamma$-automorphen Formen das Plancherelmass von $G$ annähern, wenn $\Gamma$ in geeigneter Weise gegen die triviale Untergruppe von $G$ strebt. In den Fällen, wo dies von den Autoren der Vermutung bzw. von Delorme, Clozel und Savin bestätigt wurde, beschränkte man sich entweder auf kokompakte $\Gamma$ oder auf die diskrete Reihe der Darstellungen. Das gemeinsam von Dr. Deitmar und Dr. Hoffmann erzielte Resultat betrifft eine Situation, wo keine dieser Voraussetzungen zutrifft und wo der Begriff der Vielfachheit unter Berücksichtigung des kontinuierlichen Spektrums modifiziert werden muss. Dies gelingt bisher unter der Voraussetzung dass $\Gamma$ den Rang eins hat. Seit Mitte 1998 untersucht Dr. Hoffmann auch die in der Spurformel vorkommenden Fouriertransformierten gewichteter Bahnenintegrale auf reellen reduktiven Gruppen $G$, und zwar im Unterschied zu seiner Habilitationsschrift nun für Gruppen von beliebigem Rang. Sie sind Lösungen eines Systems partieller Differentialgleichungen auf einer Cartanuntergruppe $T$ von $G$. Er konnte beweisen, dass dieses System holonom mit einer sogenannten einfachen Singularität im Unendlichen ist. Daraus folgt die Existenz einer kanonischen Lösung für jedes $G$ und $T$, durch die sich alle Lösungen ausdrücken lassen, sowie eine Reihenentwicklung mit rekursiv berechenbaren Koeffizienten. Diese Ergebnisse wurden in den Proceedings des Symposiums über Darstellungstheorie vom 15.-18.11.99 in Tateyama, Japan, dargestellt. Die nächste Aufgabe besteht darin, die besagten Fouriertransformierten unter den Lösungen zu identifizieren. Publikationen

[1]
Hoffmann, W.: The Fourier transforms of weighted orbital integrals on semisimple groups of real rank one, Journal für die reine und angewandte Mathematik 489 (1997), 53-97; MR98h:22017.
[2]
Hoffmann, W.: An invariant trace formula for rank one lattices, Mathematische Nachrichten 207 (1999), 93-131.
[3]
Deitmar, A.; Hoffmann, W.: Spectral estimates for towers of noncompact quotients, Canadian Journal of Mathematics 51 (1999) 2, 266-293.
[4]
Deitmar, A.; Hoffmann, W.: On limit multiplicities for spaces of automorphic forms, Canadian Journal of Mathematics 51 (1999) 5, 952-976.


Projekt 5:
Computeralgebra

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. H. Grassmann

  1. Implementierung einer Langzahlarithmetik in Sun-Pascal

    2. Als Grundlage dienten eine FORTRAN geschriebene dynamische Speicherverwaltung, die unter Anleitung von den Studenten Ralf Kalb und Ernst Ludwig Wirl entwickelt und von Dr. Grassmann in Sun-Pascal übertragen wurde sowie sein entsprechendes Turbo-Pascal-Programm (Juni 1997).
  2. Implementierung einer rationalen Arithmetik für unbegrenzt lange Zahlen auf der Basis von Java.

    3. Dies wird künftig angewandt, um den Matrix- und Polynomkalkül zu implementieren und dabei die bisherigen systemimmanenten Grenzen zu überwinden.


Publikationen Skript zur Vorlesung ,,Wissenschaftliches Rechnen I``, ca. 130 Seiten.
Skript zur Vorlesung ,,Computeralgebra``, ca. 90 Seiten.
(beides im Internet unter: http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/~hgrass zu finden) Helmut Koch