VL-Analysis und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten
(Differentialgeometrie I)
(WiSe 2013/14)
- Der
Termin der mündlichen Prüfungen im April ist vom 11.4. auf
den 10.4. verschoben.
Ich bitte alle Studenten,
die sich bereits für den 11.4. angemeldet haben, sich für diesen termin abzumelden und für den 10.4. wieder anzumelden.
Inhalte
Diese Vorlesung ist der erste
Teil einer 2-semestrigen Vorlesung (Wintersemester 2013/14 - Analysis
und Geometrie auf Mannigfaltigkeiten (Differentialgeometrie I)
und Sommersemester 2014 - Riemannsche Geometrie (Differentialgeometrie
II)), die in die Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten
einführt. Neben den Grundlagen aus der Theorie der
differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (Immersionen, Einbettungen und
Submersionen, Vektorfelder und Flüsse, Tensorfelder und
Differentialformen, Integration auf Mannigfaltigkeiten) werden wir im
Laufe der beiden Semester die Grundbegriffe und wesentliche Aussagen
der Riemannschen Geometrie kennenlernen. Insbesondere werden wir die
verschiedenen Krümmungsgrößen von Riemannschen
Mannigfaltigkeiten sowie Beziehungen zwischen Topologie und
Krümmung und zwischen Krümmung und Spektraleigenschaften von
Laplace-Operatoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten behandeln.
Desweitern befassen wir uns mit Parallelverschiebung, Holonomie,
geodätischen Linien und Abständen auf Riemannschen
Mannigfaltigkeiten
Themen der beiden Semester:
- Topologische Räume
- Differentialrechnung auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten
- Riemannsche und pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten, kovariante
Ableitung, Levi-Civita-Zusammenhang, Krümmungsgrößen
von Kurven, Flächen und (pseudo)-Riemannschen Mannigfaltigkeiten
und ihre geometrische Bedeutung
- Parallelverschiebung und geodätische Linien, Abstände
auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten und Satz von Hopf-Rinow
- Variationsrechnung von Geodäten und Jacobi-Felder
- Beziehung zwischen Krümmung und Topologie (z.B. Satz von
Gauß-Bonnet, Satz von Hadamard, Satz von Bonnet-Myers,...)
- Integration auf Mannigfaltigkeiten, Hodge-Laplace-Operatoren auf
p-Formen, Hodge-Theorie und geometrische Anwendungen der
Bochner-Techniken, etwas Spekralgeometrie für den Laplace-Operator
- Geometrie isometrischer Immersionen und Riemannscher Submersionen
Im Studienjahr 2014/15 ist im Masterstudiengang eine Fortsetzung der
Vorlesung vorgesehen:
- Differentialgeometrie III (Differentialgeometrie auf
Faserbündeln):
Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Eichfeld-und Holonomietheorie,
charakteristische Klassen in der De Rham Kohomologie,
Yang-Mills-Gleichung,...
- Differentialgeometrie IV (Spin-Geometrie und
Dirac-Operatoren)
Termine:
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Tag |
Zeit |
Raum |
Dozent/in |
Vorlesung
|
Montag |
09:15-10:45
|
RUD 26, 1'304
|
Helga Baum |
Vorlesung |
Montag |
11:15-12:45 |
RUD 26, 0'311
|
Helga Baum |
Übungen |
Mittwoch |
11:15-12:45 |
RUD 25, I.012 |
Helga Baum
|
Sprechzeit zur Vorlesung:
Montag, 14:00 - 15:00 +.x, Raum RUD 25, I.307. Hier können
Sie
Fragen zur Vorlesung, zu den Übungen und den Aufgaben stellen.
Skript, Literatur, Aufgaben und weitere Materialien
Die Übungsaufgaben werden am Montag vor der 1. VL abgeben.
Korrektor: Gregor Pasemann
Sprechzeit von Herrn Pasemann: Mittwoch, 13:00 - 14:00 (Raum 1.315).
Bitte vorher per email anmelden:
gregor.pasemann (at) gmx.de
Ich empfehle Ihnen, einen Blick in das Buch:
Gaußsche Flächentheorie,
Riemannsche Räume und Minkowski-Welt, Teubner-Archiv zur
Mathematik, Band 1. In diesem Buch sind Artikel von C.F. Gauß, B.
Riemann und H. Minkowski nachgedruckt, die die Entwicklung der
Differentialgeometrie wesentlich beeinflußt haben.
Insbesondere der Habilitationsvortrag von Berhard Riemann
Über die Hypothesen, die der
Geometrie zu Grunde liegen am 10. Juni 1854 an der
Universität Göttingen enthält die Grundideen der heute
sogenannten Riemannschen Geometrie (siehe auch
hier).
Für die Vorlesung eignen sich z.B. folgende Bücher:
- J. M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds, Springer 2003
- J. M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature,
Springer 1997
- B. O'Neill: Semi-Riemannian Geometry with Applications to General
Relativity, Academic Press, 1983
- W. Kühnel: Differentialgeometrie: Kurven - Flächen -
Mannigfaltigkeiten. 5. Auflage, Vieweg-Teubner, 2010
- I. Agricola, Th. Friedrich: Vektoranalysis. Differentialformen in
Analysis, Geometrie und Physik, 2. Auflage, Vieweg-Teubner, 2010
Hier ist ein Skript Skript
"Differentialgeometrie" aus einer vergangenen Vorlesung, an
dem Sie sich ebenfalls orientieren können.
(In dem Skript sind noch eine Reihe von (meist Schreib)Fehlern, die
noch korrigiert werden müssen. Falls ich zeitlich dazu
komme, werde ich das Skript im Laufe der Vorlesung überarbeiten.
Über
Hinweise
auf Fehler würde ich mich deshalb freuen. Skripte sind kein Ersatz
für den regelmäßigen Besuch der Vorlesung und für
das Arbeiten mit Lehrbüchern !!!).
Prüfung
Die Prüfung findet
mündlich
statt.
Termine:
- 24.03.2014
und 25.03.2014
- 10.04.2014
Nicht
vergessen: Sie müssen sich spätestens 14
Tage vorher zur Prüfung anmelden
Prüfungszulassung:
- Regelmäßige aktive Teilnahme an der Übung
- 50% der möglichen Punkte für die Übungsaufgaben
- Bestehen der Übungsschein-Klausur. Termin Nachklausur: 24.03.2014, 9.00-10.30