Kommentar zu
A. L. Onishchik, Rolf Sulanke: Projektive und Cayley-Kleinsche Geometrien
Zur Entstehung des Buches
Bereits beim Erscheinen des zweiten Bandes unserer Lehrbuchreihe "Algebra und Geometrie" [20], [30] wurde ein weiterer Band mit dem Titel "Projektive und Cayley-Kleinsche Geometrien" angekündigt, dessen Entstehung und Erscheinen sich wegen der großen politischen und wirtschaftlichen Umwälzungen im Deutschland der Jahre 1989/90 ungebührlich lange verzögerte. Der die Lehrbuchreihe herausgebende Verlag existiert nicht mehr. Nunmehr ist dieser Band abgeschlossen. Da die betrachteten Geometrien zu den Grundlagen der algebraischen Geometrie gehören und viele Anwendungen in der Differentialgeometrie haben, hoffen wir, mit dieser systematischen Darstellung allen denen, die auf diesen Gebieten arbeiten, ein nützliches Werkzeug in die Hand zu geben.
Aus dem Vorwort:
Die projektive Geometrie und die in sie eingebetteten Cayley-Kleinschen Geometrien sind ein recht altes Gebiet der Geometrie, das im 19. Jahrhundert in Arbeiten von V. Poncelet, J. Gergonne, Ch. v. Staudt, A.-F. Möbius, A. Cayley, F. Klein, S. Lie, N. I. Lobatschewski und vielen anderen entstand. Obwohl dieses Gebiet eine der Grundlagen der algebraischen Geometrie ist und viele Anwendungen in der Differentialgeometrie hat, wird es seit Jahren im allgemeinen Lehrbetrieb der deutschen Universitäten -- und nicht nur an diesen -- sehr vernachlässigt. Auch in der neueren Fachliteratur werden diese klassischen Aspekte der Geometrie wenig berücksichtigt. Eher findet man hier die synthetische projektive Geometrie und manche aktuellen Anwendungen zum Beispiel der endlichen Geometrien, auf die wir in unserem Buch nur mit einigen Hinweisen eingehen. Wir wollen vielmehr eine systematische Darstellung der auf den Begriff des Vektorraums gestützten projektiven Geometrie geben, der das erste Kapitel unseres Buches gewidmet ist, um dann im zweiten Kapitel die wichtigsten klassischen Geometrien nach den Prinzipien von A. Cayley und F. Klein systematisch zu entwickeln, die auf der Auszeichnung eines Absoluts und der Untersuchung der sich daraus ergebenden Invarianten geometrischer Objekte beruhen. Diese durch die lineare Algebra und die Theorie der Transformationsgruppen bestimmten Methoden sind es gerade, die in der algebraischen und der Differentialgeometrie benötigt werden. Darüber hinaus kann man sie als einen integrierenden Faktor für die Entwicklung der Analysis betrachten, wobei wir besonders an die auf der Theorie der Lieschen Gruppen fußende harmonische oder geometrische Analysis denken. Wenn wir auch überall dort, wo es keine besonderen Anstrengungen erfordert, von Vektorräumen über beliebigen Schiefkörpern ausgehen, so widmen wir uns doch hauptsächlich den Geometrien über den reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen; auch die Auswirkungen von Erweiterungen oder Einschränkungen der Skalarbereiche auf die betrachteten Geometrien werden untersucht. Neben der reellen projektiven Geometrie stellen wir einige elementar seltener behandelte, komplexe und quaternionische Geometrien dar. Auf die elementare konforme oder Möbius-Geometrie gehen wir detailliert ein. Die Oktaven- und Oktavengeometrien, die nicht den klassischen Serien Liescher Gruppen, sondern den Ausnahmegruppen zuzuordnen sind, bleiben außerhalb des Rahmens unseres Buches; zu diesem Thema verweisen wir auf Schriften von H. Freudenthal und von H. Salzmann, D. Betten, Th. Grundhöfer, H. Hähl, R. Löwen, M. Stroppel.
Wir hoffen, mit dieser
systematischen Darstellung allen denen ein nützliches Werkzeug in
die Hand zu geben, die sich selbständig oder etwa in speziellen
Seminaren den jeweils benötigten Hintergrund erarbeiten wollen. Die
systematische Gliederung, vollständige Darstellung der Beweise,
eingestreute Übungsaufgaben und ein ausführlicher Index sollen die
Auswahl des gerade interessierenden Materials und seine Aneignung
erleichtern. Das Buch ist als ein Hand- und Arbeitsbuch gedacht und
keineswegs als eine Vorlage für eine Vorlesung.
Wir
beabsichtigten nicht, eine vollständige Bibliographie dieses
Gebietes aufzulisten. Es ist ja heute nicht schwer, sich aus den
vorhandenen Datenbanken beliebig ausführliche Bibliographien
zusammen zu stellen. Wir verweisen nur auf die bei der
Bearbeitung des Stoffes herangezogenen Titel, wobei der Zufall und
die subjektive Auswahl eine nicht unbedeutende Rolle spielen. Sehr
häufig haben wir die bekannten grundlegenden Bücher von E. Artin
und R. Baer benutzt. Natürlich haben wir auch unseren Lehrern für
Hinweise und Orientierungen zu danken, die wir seit unserem Studium
und in langen Jahren gemeinsamer Arbeit erhielten, und die,
vielleicht mitunter unbewusst, in dieses Buch eingegangen sind.
Besonders zu erwähnen sind hier sicher die Vorlesungen, Seminare und
Schriften von W. Blaschke, E. B. Dynkin, L. A. Kaloujnine, A. G.
Kurosch, P. K. Raschewski und H. Reichardt.
Es seien hier noch einige Lehrbücher und Monographien genannt,
die unser Thema aus anderer Sicht oder mit anderen Schwerpunkten
behandeln......
Für das Verständnis unseres Buches ist die
Kenntnis der Grundbegriffe der linearen Algebra und der auf ihr
beruhenden affinen und euklidischen Geometrie, wie sie üblicher
Weise im ersten Studienjahr eines Mathematik- oder Physikstudiums
gelehrt werden, eine unabdingbare Voraussetzung. Dazu gehört auch
die Kenntnis der affinen Klassifikation der Quadriken und ihre
euklidische Verfeinerung mittels der Hauptachsentransformation. Wir
verwenden diese Begriffe und Resultate oft ohne spezielle Hinweise.
Natürlich ist es für die Autoren und diejenigen Leser, welche die
beiden Bände der eingangs erwähnten Reihe Algebra und Geometrie
kennen oder besitzen, angebracht und bequem, die Beziehungen zu den
dort dargestellten Gegenständen zu nutzen. ...Der Leser kann
anstelle dieser Bücher natürlich auch andere Lehrbücher
heranziehen, die zumeist entsprechende Informationen enthalten.
Vorkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten oder Liesche
Gruppen sind für das Verständnis des Buches nicht erforderlich. Der
Anhang enthält einige in den ersten beiden Bänden eingeführte
Bezeichnungen, sowie einige in diesem Buch nicht explizit behandelte
Definitionen allgemein üblicher Termini. Wir waren bemüht,
einen ausführlichen Index zu erstellen. ...
Die knapp 70 den Text begleitenden Abbildungen wurden zumeist mit Hilfe des Programms Mathematica von St. Wolfram angefertigt. Dieses Programm stellt viele Möglichkeiten zu numerischen und symbolischen Berechnungen zur Verfügung und enthält einen vielseitigen grafischen Apparat zur Visualisierung ebener und räumlicher geometrischer Objekte, der naturgemäß an die euklidische Geometrie gebunden ist. Auf dieser Homepage kann man einige in Mathematica geschriebene Notebooks finden, die bei der Erarbeitung des Buches entwickelt wurden und die Möglichkeiten von Mathematica erweitern. Zu erwähnen ist hier die pseudo-euklidische Geometrie, mit deren Hilfe Relativitätstheorie, Möbius-Geometrie, Liesche Kugelgeometrie und auch, über die Killingformen, halbeinfache Lie-Algebren bearbeitet werden können. Ausführlich wurde die dreidimensionale euklidische und die Möbius-Geometrie der k-Sphären, k = 0, 1,2, behandelt. Einige in diesen Notebooks mit Hilfe symbolischer Rechnungen gewonnene Formeln, welche in Analogie zum Coxeter-Abstand von Hypersphären Möbius-Invarianten durch euklidische Invarianten ausdrücken, sind in unser Buch aufgenommen worden. Man findet dort auch einen sehr schnellen Orthogonalisierungs-Algorithmus nach Erhard Schmidt und ein Orthogonalisierungsverfahren für Vektorfolgen pseudo-euklidischer Räume. Damit sind Möglichkeiten erschlossen, die wegen des Umfanges und der Komplexität der Rechnungen mit traditionellen Methoden ,,per Hand" kaum zu erreichen wären. Ihre Grenzen findet die sogenannte ,,künstliche Intelligenz" recht bald dann, wenn sie den finiten algorithmischen Boden verlässt und sich dem in der modernen Mathematik alltäglichem begrifflichen Denken zuzuwenden versucht. Schon die naive Mengenlehre in Mathematica zu implementieren stößt auf erhebliche Probleme, wie der Entwurf eines diesbezüglichen Systems von Mathematica Notebooks und Packages zeigt, das man auch auf dieser Homepage findet.
Die technische Anfertigung des Manuskripts in LaTeX sowie der Abbildungen wurden vom zweitgenannten Autor ausgeführt, der eventuelle Unvollkommenheiten zu entschuldigen bittet. Für die Unterstützung und Hilfe bei dieser Arbeit bedanken wir uns bei der Humboldt-Universität zu Berlin, und besonders bei deren Mitarbeitern Frau H. Pahlisch und den Herren H. Gollek, J. Gehne und H. Spitzer. Herrn Bernd Wegner von der Technischen Universität Berlin danken wir herzlich für sein Interesse an unserer Arbeit und seine Bemühungen um eine Publikation. Wir bedanken uns bei dem Springer-Verlag herzlich für die Genehmigung, die deutschsprachige Version unseres Buches auf dieser Homepage zu veröffentlichen.
Leider blieben, gemessen an dem ursprünglichen Plan des Buches, noch manche Wünsche und Fragen offen. Bei dem wachsendem Umfang des Manuskripts und der langen Zeit, die wir für manche Vorhaben noch benötigen würden, haben wir uns entschlossen, uns jetzt auf die unserer Meinung nach wichtigsten Gegenstände zu beschränken und das Manuskript in der vorliegenden Form der Öffentlichkeit zugänglich zu machen. Ergänzungen, Kommentare und Mathematica-Notebooks zu dem in diesem Buch behandelten Stoff beabsichtigen wir auf dieser Homepage zur Verfügung zu stellen; dabei sind uns auch Beiträge unserer Leser willkommen. Wir bitten um Nachsicht und Unterstützung: Für Kritiken, Fehlerkorrekturen und andere Hinweise sind die Autoren sehr dankbar; bitte senden sie diese an
sulanke@mathematik.hu-berlin.de.
Wir denken und hoffen, dass unser Buch manchen Kollegen und vielen Studenten Anlass zu eigenen Überlegungen und Grundlage für eigene Untersuchungen sein wird.
Berlin, im Oktober 2005
A. L. Onishchik, R. Sulanke
Letzte Bearbeitung am 25. November 2010.