Prof. Dr. Herbert Kurke

 

Wissenschaftlicher Werdegang

1959-1960	Studium Physik, TU Dresden
1960-1964	Studium der Mathematik an der Humboldt-Universität zu Berlin
1964	Diplom (Mathematik) an der Humboldt-Universität zu Berlin
1967	Promotion (Dr. rer. nat.) an der Humboldt-Universität zu Berlin
1969	Habilitation an der Humboldt-Universität zu Berlin
1964-1972	wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Akademie der Wissenschaften der DDR
1972	Professor an der Humboldt-Universität zu Berlin
seit 1972	Koordinator der Forschungsgruppe ``Algebraische Geometrie''
seit 1992	Professor (C4) für Mathematik/Algebraische Geometrie an der Humboldt-Universität zu Berlin

Wichtige Forschungsaufenthalte

1997, 1998, 1999	Gastforscher, University of Salamanca (jeweils 3 Wochen)
1999	Gastforscher, Mc Gill University Montreal
1969, 1971, 1982	Gastforscher, UNAM (Mexiko) und CIMAT (Guanujato, Mexiko)

Projekt 1:

Geometrie von Modulräumen holomorpher Vektorbündel und algebraischer Kurven

1.1 Vektorbündel
 

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. A. Matuschke, Dipl.-Math. Olaf Teschke, David Ploog, Dipl.-Math. Lorenz Wotzlaw, Dr. Georg Hein

Gemeinsam mit Andreas Matuschke wurden Modulräume von Vektorbündeln über Aufblasungen von Regelflächen untersucht und deren Zusammenhang mit Instantonen auf $n$-fach zusammenhängenden Summen projektiver Ebenen. Zunächst werden die Ergebnisse beschrieben, die diesen Zusammenhang herstellen. Sei $M$ eine zu einer $n$-fach zusammenhängenden Summe von projektiven Ebenen diffeomorph $4$-Mannigfaltigkeit. Ein Modell von $M$ erhält man wie folgt: Man wähle in $\Bbb{P}^2$ eine Gerade $F_0$ und $n$ Punkte in $\Bbb{P}^2\smallsetminus F_0$, blase in diesen Punkten auf, dann erhält man $S_0 =\Bbb{P}^2 (\Bbb{C}) \char93 \left( - \Bbb{P}^2 (\Bbb{C})\right) \char93 \cdots \char93\left( -\Bbb{P}^2 (\Bbb{C})\right)$ und kontrahiere $F_0$ zu einem Punkt $m_0$ (letzteres läßt sich nicht in der komplex-analytischen Kategorie ausführen), das Resultat ist diffeomorph zu $-M$ (ein Minuszeichen heißt: Änderung der Orientierung). Ein Instantonbündel auf $M$ liefert daher auf $S_0$ ein Vektorbündel $V_0$, das längs der Geraden $F_0$ trivial ist, und der selbst-duale Zusammenhang induziert auf $V_0$ eine holomorphe Struktur. Durch Aufblasung eines Punktes auf $F_0$ erhält man eine Fläche $S$ mit einer Faserung $S \stackrel{\pi}{\longrightarrow} B =\Bbb{P}^1$, die aus einer Regelfläche mit einem ausgezeichneten Schnitt $E$ (die exzeptionelle Kurve von $S \longrightarrow S_0$) durch Aufblasung in $n$ Punkten aus $S\smallsetminus E$ in $n$ verschiedenen Fasern entsteht. Sei $V$ das zurückgezogene Bündel $V_0$ auf $S$. Die Wahl einer Basis des Instantonbündels im Punkte $m_0$ ist äquivalent zur Wahl einer Trivialisierung von $V_0/F_0$ bzw. zur Wahl einer Trivialisierung von $V/E$. Auf diese Weise erhält man eine Korrespondenz zwischen Isomorphieklassen markierter $SU(n)$-Instantonen auf $M$ (Markierung heißt: Wahl einer Basis in $m_0$) und Isomorphieklassen gerahmter $Sl(n)$-Bündel auf $S$ (Rahmung heißt: Wahl einer Trivialisierung auf $E$), die auf der Faser $F$ trivial sind. Mit Hilfe der Penrose-Ward-Korrespondenz wurde (für die konstruierten selbst-dualen Strukturen auf $M$) gezeigt in [6]. Satz. Ist $\frak{M}I (n,m,m_0)$ der Modulraum der markierten $SU(n)$-Instantonen auf $M$ mit Quantenzahl $m$, und ist $\frak{M}(n,m,E;F)$ der Modulraum der gerahmten $Sl(n)$-Bündel $(v,\phi )$ auf $S$ mit $c_2 (V) = m$, die auf der Faser $F$ trivial sind, so ist die oben beschriebene Korrespondenz ein reell-analytischer Isomorphismus

$$\frak{M}I (n,m,m_0) \longrightarrow \frak{M} (n,m,E;F)\quad .$$

Dieses Resultat legt also folgende Fragen nahe: Es sei $S\stackrel{\pi}{\longrightarrow} B$ eine Faserung einer Fläche über einer glatten Kurve $B$, die aus einer Regelfläche $S_0 \longrightarrow B$ mit einem Schnitt $E$ durch Aufblasung von $n$ verschiedenen Punkten aus $S_0\smallsetminus E$ entsteht. Dann konstruiere man einen Modulraum $\frak{M}(n,m,E)$ von $Sl(n)$-Bündeln $V$ mit $c_2 (V) = m$, mit einer Rahmung $\phi: V/E \simeq {\cal O}^n_E$, die auf einer Faser trivial sind, und beschreibe dessen Struktur. Die Existenz eines solchen Modulraumes läßt sich auf ein Existenzkriterium von Huybrechts-Lehn zurückführen, wo folgende Bedingungen als hinreichend für die Existenz eines feinen Modulraumes nachgewiesen werden.

(i)

Die Rahmung erfolgt längs einer amplen Kurve.

(ii)

Die Rahmung ist vereinfachend.

Ersteres ist für unsere Situation nicht erfüllt, es gibt aber folgenden Ausweg: Es gibt höchstens $m$ Fasern, auf denen $V$ nicht-trivial ist. Wählt man jetzt $m+1$ Fasern $F_0 , \cdots , F_{m+1}$, und betrachtet die Subfunktoren des Modulfunktors $\underline{\frak{M}} (n,m,E)$, $$\underline{\frak{M}}_j = \underline{\frak{M}} (n,m,E;F_j) = \{ V \vert V\vert F_j\mbox{ trivial }\},$$

so bilden diese eine offene Überdeckung und $E + kF_j$ ist ampel für $k \gg 0$. Die Rahmung $\phi$ induziert eine eindeutig bestimmte Rahmung von $V$ auf $E + kF_j$. Daher sind diese Funktoren $\underline{\frak{M}}_j$ darstellbar und damit auch $\underline{\frak{M}}$. Standartresultate der Deformationstheorie ergeben, daß $\frak{M}$ glatt von der (komplexen) Dimension $2nm$. Weitere Strukturaussagen über diese Modulräume sind in [6] erzielt worden. Hier einige Resultate: (1) Es gibt einen surjektiven Morphismus mit zusammenhängenden Fasern

$$\delta : \frak{M} \longrightarrow \mbox{ Sym}^m (B)\quad .$$

Ist $\delta (V, \phi ) = \mathop{\sum}\limits^r_{j=1} m_jP_j$, so sind die Fasern über $P_1 , \cdots , P_r$ genau die Sprungfasern, und $R^1 \pi_\ast(V(-E))_{P_j}$ ist ein Vektorraum der Dimension $m_j$. Hieraus folgt insbesondere, daß $\frak{M}$ nicht-leer und zusammenhängend ist. (2) Die Fasern über $\mathop{\sum}\limits^r_{j=1} m_jP_j \in \mbox{ Sym}^m(B)$ sind reduziert und von der Form $J_1 \times \cdots \times J_r$ und
[4] $J_\nu = J (n,m_\nu , F_\nu)$ hängt nur vom $n,m_\nu$ und dem Fasertyp ab. (3) Für die $J (n,m,F)$ werden verschiedene Beschreibungen angegeben. Insbesondere: Der glatte Ort $U (n,m,F)$ von $J (n,m,F)$ besteht genau aus den Bündeln (auf dem Keim der Faser $F \subset S$) mit $h^1 (F,V(-E)/F) =1$. Wenn $F$$s+1$ Komponenten hat, so hat $U(n,m,F) \;\; s+1$ Zusammenhangskomponenten, die alle isomorph zu einem homogenen Raum $U_0 = G/A$ sind. $G,A$ sind die Gruppen

$$\begin{eqnarray*}\mbox{ Res}^R_{\Bbb{C}} \left( {\cal G}l_{n_R} \right) &\supset&\mbox{ Res}^R_{\Bbb{C}} ({\cal A})\end{eqnarray*}$$ mit $R = \Bbb{C} (t)/t^{2m}$ $$\begin{eqnarray*}{\cal A} = \{ (a_{ij}) \mid a_{1j}&\equiv& 0 \mbox{ mod } t^m......; i \neq 2\\a_{11}&\equiv& a_{22} \mbox{ mod } t^m \}\quad .\end{eqnarray*}$$ Man erhält daher eine lokal triviale Faserung $U_0 \longrightarrow P$ mit Fasern $\Bbb{C}^{(2n-1)(m-1)-1}$, wobei $P$ das zu ${\cal O}(1,-1)$ gehörige Hauptfaserbündel über $\Bbb{F} (1,a) \subset \breve{\Bbb{P}}^{n-1} \times\Bbb{P}^{n-1}$ ist. Aus den Resultaten über die Struktur der Fasern lassen sich Vergleichssätze über die Homotopiegruppen von $\frak{M}(n,m,E)$ und $\frak{M} (n,m+1,E)$ ziehen, die eventuell zu einer Berechnung dieser Homotopiegruppen für kleine Dimensionen führen. Die Resultate sind in [6] dargelegt, müssen aber noch für eine Publikation ausgearbeitet werden. Leider ist A. Matuschke aus der Forschungsgruppe ausgeschieden. Gemeinsam mit Olaf Teschke wurde ein verallgemeinerter Stabilitätsbegriff für Vektorbündel studiert [4]. Statt einer Polarisierung auf einem algebraischen Raum $X$ wird eine beliebige Familie von glatten Kurven auf $X$ betrachtet, bezeichnet $H$ den Parameterraum der Familie und $W \subsetX \times H$ den Totalraum der Familie, so sollen zwei Bedingungen erfüllt sein:

(i)

Die Projektion $W \stackrel{\nu}{\rightarrow} Z$ ist glatt.

(ii)

Die allgemeine Faser von $\nu$ ist zusammenhängend.

Das ist z.B. der Fall für die Familie der linearen Schnitte der Kodimension $n-1$ für eine $n$-dimensionale projektive Varietät. Bezüglich einer solchen Familie wurde der Anstieg $\mu ({\cal F})$ einer torsionsfreien Garbe ${\cal F}$ definiert als der Anstieg ihrer Einschränkung auf eine allgemeine Kurve der Familie. In dieser Situation läßt sich eine Harder-Narasimhan-Filtration (HNF) für torsionsfreie Garben definieren (deren Einschränkung auf allgemeine Kurven der Familie die Harder-Narasimhan-Filtration der eingeschränkten Garbe ist). Für die Folge der Anstiege der HNF gilt dann eine Abschätzung $$\mu_j < \mu_{j+1} \le \mu_j + d(W)$$

wobei $d(W)$ folgende Invariante ist: Die Familie sei in allgemeinen Punkten $h \in H$ vollständig, dann ist $d(W) =-\mu_{min} (R)$, wobei $R$ Kern der Surjektion

$${\cal O}_{W_h} \otimes H^0 \left( {\cal N}_{W_h/X}\right) \longrightarrow{\cal N}_{W_h/X}$$

(${\cal N}_{W_h/X}$ das Normalenbündel der Kurve $W_h$ in $X$). Beispiele: (1) Für die Familie der Geraden auf einer Quadrik $X$, ebenso für die Familie der Twistorgeraden auf einem Twistorraum ist $d=1$ . (2) Wenn $X$$3$-dimensional und eine Spin-Struktur besitzt, d.h. $K_X^{-1}= L^{\otimes 2}$ und wenn das Linearsystem $\vert L\vert$ frei von der Dimension $\ge3$ ist und $H^1 \left( L^{-1}\right)=0$, so gilt für die Familie der vollständigen Durchschnitte von zwei Flächen aus $\vert L\vert$

$$d(W) = \frac{\dim \vert L\vert -1}{\dim \vert L\vert -2}\quad .$$

In diesem Fall läßt sich für Bündel ${\cal E}$ vom Rang $2$ die Kohomologie $\mathop{\oplus}\limits_\nu H^1 \left( {\cal E} \otimes{\cal L}^{\otimes \nu}\right)$ bzw. $\oplus H^2 \left( {\cal E} \otimes{\cal L}^{\otimes \nu}\right)$ mittels des Spektrums in Analogie zu Bündeln auf $\Bbb{P}^3$ studieren (wobei ${\cal L}$ an die Stelle von ${\cal O} (1)$ tritt, ${\cal L}$ ist aber im allgemeinen nicht ampel). Wir hoffen, daß diese Untersuchungen Anwendungen beim Studium mathematischer Instantonbündel auf allgemeineren Twistorräumen finden können.
 

1.2. Modulräume von Kurven
Ziel ist der Ausbau der Krichever-Korrespondenz. Diesbezügliche Untersuchungen wurden von der Doktorandin I. Quandt geführt ([10], [11]). Es geht darum, diese Korrespondenz zwischen kommutativen Ringen von (formalen) gewöhnlichen Differential-Operatoren einer Veränderlichen und gewissen geometrischen Daten (einer projektiven algebraischen Kurve mit einem ausgezeichneten glatten Punkt, sowie einer torsionsfreien kohährenten Garbe auf der Kurve, so daß in dem Punkt ein ausgezeichneter formaler lokaler Parameter und eine ausgezeichnete Trivialisierung gegenben sind) auf den Fall von Familien von solchen Daten, über einer geeigneten Klasse von Basisschemata $S$ auszudehnen. Eigentlich sollten auch höher-dimensionale Analoga dieser Korresponendenz gefunden werden, Frau Quandt ist aber inzwischen ausgeschieden, so daß die Untersuchungen in dieser Richtung zunächst nicht weitergeführt wurden. Die geometrischen Daten sind zu interpretieren als Spektraldaten des Ringes von Differential-Operatoen, da die Betrachtung rein lokal ist (keine Randbedingungen) ist das Spektrum sehr groß und entspricht den Punkten der Kurve, die Garbe ${\cal F}$ besteht aus den Eigenfunktionen. Ein Analogon der Krichever-Korrespondenz wurde für den Fall beliebiger affiner Basisschemata gefunden und in enger Zusammenarbeit mit M. Mulase ausgearbeitet [10], [11]. Weiterhin liegen einige Untersuchungen von H. Kurke vor über unendliche Grassmannsche, die aber wegen des Ausscheidens von Frau Quandt z.Zt. ebenfalls ruhen. Das Thema soll allerdings in nächster Zeit weitergeführt werden.
 

Projekt 2:

Selbstduale Strukturen

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. Ingo Hadan, Dipl. Math. Achim Radtke

In der Dissertation von I. Hadan und den Arbeiten [17], [9] wurden Untersuchungen durchgeführt, die zum Ziel eine Beschreibung des Modulraumes aller selbst-dualen konformen Strukturen auf $M = \Bbb{P}^2 (\Bbb{C})\char93 \Bbb{P}^2 (\Bbb{C}) \char93 \Bbb{P}^2 (\Bbb{C})$ hat. Allerdings erweist sich dies schwieriger als vermutet. Die Situation stellt sich wie folgt dar: Aus den Arbeiten von H. Kurke und B. Kreussler - H. Kurke aus der früheren Berichtsperiode ist bekannt, daß eine einfach zusammenhängende $4$-Mannigfaltigkeit $M$ mit der Schnittform $diag (1,1,1)$ diffeomorph zu $\Bbb{P}^2 (\Bbb{C}) \char93 \Bbb{P}^2 (\Bbb{C}) \char93 \Bbb{P}^2(\Bbb{C})$ ist, sofern sie eine selbst-duale konforme Struktur besitzt, und daß als Twistorraum nur in Frage kommt, die Modifikation einer Doppelüberlagerung von $\Bbb{P}^3 (\Bbb{C})$ verzweigt längs einer Fläche $4$-ten Grades mit genau $13$ Doppelpunkten, oder Modifikationen von bestimmten Kegelschnittbündeln über einer Quadrik. Der Fall von Doppelüberlagerungen wurde eingehend von B. Kreussler untersucht im Hinblick auf die Frage, welche eine Twistorraumstruktur besitzen, ohne daß tatsächlich eine gefunden wurde. Andererseits wurden von H. Kurke Familien von Kegelschnittbündeln über einer Quadrik gefunden, die nach einer bestimmten Modifikation eine Twistorraum-Struktur besitzen, und zwar für jedes $n \ge 1$ eine Familie, die durch eine Konfiguration von $n$ verschiedenen Punkten im hyperbolischen Raum, modulo Isometrien, parametrisiert wird, und die zu selbst-dualen konformen Strukturen auf der $n$-fachen zusammenhängenden Summe projektiver Ebenen gehört. Diese selbst-dualen Strukturen wurden unabhängig von C. Le Brun gefunden. Für $n=3$ erhält man eine dreidimensionale Familie, während die Deformationstheorie ergibt, daß die universelle Deformation Sechsdimensional ist. Somit kann man indirekt darauf schließen, daß gewisse Doppelüberlagerungen eine Twistorraumstruktur besitzen. Als äußerst schwierig erweist es sich, die Twistorgeraden zu identifizieren. Die allgemeinen Twistorgeraden müssen Kurven auf der Doppelüberlagerung sein, deren Projektion in $\Bbb{P}^3$ Kegelschnitte sein müssen, die die Verzweigungsfläche $B$ in alle Schnittpunkten von gerader Ordnung berühren. Die Arbeit von I. Hadan untersucht ausführlich und systematisch das Hilbertschema dieser Kurven für Doppelüberlagerungen mit beliebiger Verzweigungsfläche vom Grad $4$, vorausgesetzt diese hat höchstens gewöhnliche Doppelpunkte. Sie ist unabhängig vom Ausgangsproblem von selbständigem Interesse. Als Fazit kann man ziehen, daß das Hilbertschema dieser Kurven sehr viele irreduzible Komponenten haben kann und diese Anzahl abhängen kann von der Anzahl der Doppelpunkte und der Anzahl und Existenz von Tope-Ebenen. Zum Beispiel können $93$ irreduzible Komponenten auftreten, das ist der Fall, wenn die Quartik $B$$16$ Doppelpunkte und $16$ Trope-Ebenen hat. In dem für Twistorräume interessierenden Fall hat die Quartik $13$ Doppelpunkte und $3$ Trope-Ebenen, in diesem Fall hat man $21$ Komponenten, von denen $12$ Kandidaten für Twistorfaserungen sind. Dies zeigt die Schwierigkeit, die möglichen Twistorfaserungen genau zu finden, eine weitere Schwierigkeit besteht darin, daß man in $13$ Punkten eine Wahl zu treffen hat für eine kleine Auflösung. Unabhängig von diesem Problem stellen die Untersuchungen einen wichtigen Beitrag zur Geometrie von Doppelsolids dar und es wird ein interessanter Beitrag zum Studium von Monodromiewirkungen geleistet. Gemeinsam mit A. Radtke wurden sogenannte $L$-Strukturen auf komplexen Mannigfaltigkeiten untersucht. Dies stellt eine Verallgemeinerung von Twistorräumen dar. Die in Vorbereitung befindliche Dissertation von A. Radtke gibt eine teilweise Klassifizierung von $3$-Mannigfaltigkeiten mit $L$-Strukturen dar, verallgemeinert und systematisiert frühere Arbeiten der japanischen Schule.
 

Drittmittel: Die DFG hat dieses Projekt im Rahmen des Schwerpunktes ,,Komplexe Mannigfaltigkeiten`` bzw. des Projektes (Nr. Ku 770/1-3) gefördert; weiterhin durch das TMR-Projekt AGE (,,Algebraic Geometry in Europa``), Knoten Hannover, Essen, Hamburg, Berlin.
 

Publikationen

[1]

Kurke, H.; Matuschke, A.: On the structure of moduli spaces of framed vector bundles on rational and ruled surfaces, Contemporary Math. 241 (1999), 239-271.

[2]

Kurke, H.; Teschke, O.: The spectrum of semistable vector bundles on certain algebraic spaces (alg-geom 99). Erscheint in: Le Mathematiche.

[3]

Hein, G.; Kurke H.: Restricted Tangent Bundle of Space curves, Israel Mathematical Conference Proceedings 9 (1996), 283-294.

[4]

Hein, G.: Duality construction of moduli spaces, Geom. Dedicata 75 (1999), 101-113.

[5]

Hein, G.: On the generalized theta divisor, Beitr. Algebra Geom. 38 (1997), 95-98.

[6]

Matuschke, A.: Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 1997.

[7]

Matuschke, A.: A geometric example of non-trivially mixed Hodge structure, J. Pure Appl. Algebra 124 (1998), 201-210.

[8]

Matuschke, A.: On framed instanton bundles and their deformations, alg-geom/9611001. Erscheint in: Math. Nachr..

[9]

Hadan, I.: Tangent Conics at Quartic Surfaces and Conics in Quartic Double Solids, Math. Nachr. 2100 (2000), 127-162.

[10]

Quandt, I.: Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 1997.

[11]

Quandt, I.: On a relative version of the Krichever corresondence, Bayreuther Math. Schr. 52 (1997), 1-75.

[12]

Wotzlaw, L.: Quantum cohomology. Erscheint in: Le Matematiche.

[13]

Wotzlaw, L.: Fano 4-Folds with $P_2$-Bundle structure, Preprint-Reihe des FB Mathematik der Universität Mainz, Nr. 7 (22.04.99).

[14]

Altmann, K.: Infinitesimal deformations and obstructions for toric singularities, J. Pure Appl. Algebra 119 (1997), 211-235.

[15]

Altmann, K.: The versal deformation of an isolated toric Gorenstein singularity, Invent. math. 128 (1998), 443-379.

[16]

Altmann, K.; Sletsjoe, A.B.: André-Quillen cohomology of monoid algebras, J. of Algebra 210 (1998), 708-718.

Preprints

[17]

Hadan, I.: The Space of Conics Touching a quartic surface with 13 nodes.

[18]

Kurke, H.: The Structure of the Picard Group of Twistor spaces and Spin$^C$-structures.

Rolf-Peter Holzapfel