Prof. Dr. sc. Thomas Friedrich

 

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Wissenschaftlicher Werdegang
1968-1973 Studium der Mathematik an der Universität Wroc\law (Polen)
1974 Promotion (Dr.rer.nat) an der Humboldt-Universität zu Berlin
1979 Promotion B an der Humboldt-Universität zu Berlin
1980-1987 Hochschuldozent für Geometrie an der Humboldt-Universität zu Berlin
1987 ordentlicher Professor für Globale Analysis
seit 1992 Professor (C4) für Mathematik/Globale Analysis an der Humboldt-Universität zu Berlin
seit 1993 Sprecher des Graduiertenkollegs ,,Geometrie und Nichtlineare Analysis``
Wichtige Forschungsaufenthalte
1968-73 Studium der Mathematik in Polen
1974 Gastforscher am Banach-Zentrum in Warschau
1977-78 Gastforscher an der Lomonossov-Universität Moskau
1982, 1990 Gastforscher an der University of Maryland
1982 Gastforscher Université Montpellier
1983 Gastforscher Ecole Politechnique
1984 Gastforscher an der Lomonossov-Universität Moskau
1989 Gastforscher an der Université Nantes
1994 Gastforscher am MPI Bonn
1994 Gastforscher am Schrödinger-Institut Wien

Herausgebertätigkeit:
Herausgeber der Zeitschrift ,,Annals of Global Analysis and Geometry``
 

Projekt: Differentialgeometrie und Globale Analysis
 

Beteiligte Wissenschaftler: Dipl.-Phys. Ilka Agricola, Dipl.-Math. Volker Buchholz, Dr. Florin Alexandru Belgun, Dr. sc. Hubert Gollek, Dr. sc. Klaus-Dieter Kirchberg, Dr. Wilhelm Klingenberg, Dipl.-Phys. Pablo Ramacher
Ehemals beteiligte Wissenschaftler: Dr. Andreas Nestke (bis 30.09.1998), Dipl.-Math. Uwe May (01.05.1993 - 30.04.1997), Dr. Klaus Mohnke (01.12.1992 - 31.05.1997), Dipl.-Math. Thomas Mautsch (01.11.1995 - 31.12.1997), Dr. Andrei Moroianu (01.11.1996 - 30.09.1997), Dr. Margarita Kraus (01.10.1996 - 30.03.1997)
Spektraleigenschaften von Dirac- und Laplace-Operatoren sowie damit in Verbindung stehende geometrische Fragen werden an der Humboldt-Universität zu Berlin seit vielen Jahren studiert. In den Jahren 1997-1999 wurden Resultate zu nachstehenden Fragen erzielt:

[a]
Twistor- und Killing-Spinoren über Mannigfaltigkeiten mit $G$-Struktur

(V. Buchholz, Th. Friedrich, E.C. Kim)
In Verallgemeinerung der Killing-Gleichung für Spinoren wurde eine neue Klasse von sogenannten Weak-Killing Spinoren auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt. Diese WK-Spinoren sind spezielle Lösungen der Einstein-Dirac-Gleichung. Es gelang mittels der Kontaktgeometrie Existenzsätze für WK-Spinoren zu beweisen, also neue Lösungen der Einstein-Dirac-Gleichung zu konstruieren. Weiterhin werden mittels der 6-dimensionalen fast-Kähler Mannigfaltigkeiten Lösungen der Einstein-Dirac-Gleichung konstruiert, welche keine WK-Spinoren sind. WK-Spinoren sind weiterhin Grenzfälle in neuen Abschätzungen der Eigenwerte des Dirac-Operators, in welche der Energietensor des Spinors eingeht.
Spinorielle Feldgleichungen wurden im Rahmen der Weyl-Geometrie systematisch studiert. Neben Verschwindungssätzen, die man aus entsprechenden Verallgemeinerungen der Schrödinger-Lichnerowicz-Formel auf den Fall der Weyl-Geometrie erhält, wurde insbesondere die Killing-Gleichung für Spinoren in der Weyl-Geometrie studiert und nicht-Riemannsche Lösungsserien konstruiert.
Mannigfaltigkeiten der Dimension $n=16$ können eine schwache $Spin(9)$-Holonomiegruppe haben. Das systematische Studium dieser Geometrien wurde begonnen.
[b]
Spektraltheorie von Dirac-Operatoren in Dimension $n = 2$ und Flächentheorie

(I. Agricola, Th. Friedrich, P. Ramacher)
Das Verhalten der Eigenwerte des Dirac-Operators sowie im Vergleich dazu des Laplace-Operators bei Deformationen von Metriken auf Flächen wurde intensiv - auch numerisch - studiert. Eng damit in Verbindung steht die Frage nach der Qualität der unteren und oberen geometrischen Schranken für das Spektrum von Dirac-Operatoren. Klassische Flächentheorie kann äquivalent als Lösungstheorie einer Dirac-Gleichung mit Potentialfunktion $H$ formuliert werden und daher sind diese Resultate auch dafür relevant. Mittels Twistortheorie werden superminimale Flächen in Räumen negativer konstanter Krümmung studiert und insbesondere nicht-total geodätische vollständige Beispiele konstruiert.
[c]
Spinoren über nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten - eine neue $G$-Struktur

(Th. Friedrich)
Eine neue Gruppe $Lpin(m)$, welche eine nichttriviale Erweiterung der Gruppe $Pin^{\Bbb C} (m)$ ist, führt im Falle ungerader Dimension auf nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten ohne jegliche $Spin$- oder $Pin$-Struktur derart, daß über diesen Räumen dennoch Spinorfelder erklärt werden können. Es werden die topologischen Bedingungen für die Existenz einer $Lpin$-Struktur hergeleitet und geeignete Beispiele konstruiert. Diese Untersuchungen werden fortgesetzt (Dirac-Operatoren zu $Lpin$-Strukturen etc.).
[d]
Twistorgleichungen über komplexen Mannigfaltigkeiten

(K.-D. Kirchberg, A. Moroianu)
Die sogenannte Lichnerowicz-Vermutung (1990) die Struktur gerad-dimensionaler Kähler-Mannigfaltigkeiten mit Kählerschen Killing-Spinoren betreffend konnte letztendlich von A. Moroianu nach Vorarbeiten von K.-D. Kirchberg gelöst werden.
[e]
$G$-Invariante Differentialoperatoren auf algebraischen Mannigfaltigkeiten und deren Charaktere

(I. Agricola)
Sind eine affine Varietät $M$ und eine darauf wirkende reduktive Gruppe $G$ gegeben, so kann man den Ring der regulären Funktionen auf $M$ ganz allgemein in seine $G$-isotypischen Komponenten zerlegen. Wir studieren die Wirkung der Algebra der $G$-invarianten Differentialoperatoren hierdrauf (Irreduzibilität auf den Vielfachheitsräumen, Eindeutigkeit der Charaktere), leiten hieraus ein Kriterium ab, wann diese Algebra abelsch ist und wie man dies der Momentabbildung ansieht, und konstruieren neue Beispiele, wann man eine ``Trennung der Variablen'' vornehmen und mit solchen Operatoren beschreiben kann. Der Polynomring einer reellen algebraischen Varietät ist dicht im $L^2$-Raum bezüglich ihres Gauß-Maßes. Daher kann die $G$-isotypische Zerlegung des Polynomringes u.a. zur Konstruktion von vollständigen Orthonormalsystemen im $L^2$-Raum angewandt werden.
[f]
Reelle Hyperflächen in Kähler-Mannigfaltigkeiten

(W. Klingenberg)
Wir definieren einen extrinsischen Krümmumgstensor für reelle Hyperflächen in Kähler-Mannigfaltigkeiten und studieren seine Bedeutung für die Frage nach einer lokalen Einbettung einer abstrakten CR-Mannigfaltigkeit als Hyperfläche des ${\Bbb C}^n$ mit vorgegebener Krümmung. Dies löst das lokale Äquivalenzproblem von reelen Hyperflächen des ${\Bbb C}^n$ unter holomorphen Isometrien. Ausserdem geben wir einen globalen Starrheitssatz für kompakte pseudokonvexe Hyperflächen des${\Bbb C}^n$, deren Spur der Leviform (dies ist der hermitesche Anteil des Krümmungstensors) konstant ist. Eine solche Hyperfläche ist eine metrische Sphäre.
[g]
Holomorphe Scheiben und 4-dimensionale symplektische Geometrie

(K. Mohnke)
Inhalt des Forschungsprojektes war das Studium holomorpher Scheiben in (reell) $4$-dimensionalen fast komplexen Mannigfaltigkeiten (Existenz, Deformation) und deren Verwendung in der symplektischen Geometrie und der komplexen Analysis (Lagrange-Einbettungen, Steinsche Flächen und deren Ränder, holomorphe Hüllen). Es wurde folgende Situation studiert: Gegeben sei eine Hyperfläche in ${\Bbb C}^2$ mit einer Morsefunktion mit genau einem kritischen hyperbolischen Punkt, in dem die Niveaufläche (mit kegelartiger Singularität) die tangentiale komplexe Gerade an die Hyperfläche transversal schneidet. Dann kann man alle Niveauflächen in der Nähe des kritischen Punktes eindeutig mit holomorphen Scheiben füllen. Außerdem wurde Glattheit der konstruierten Familie von Scheiben gezeigt. Im zweiten Projekt wurde die Existenz einer holomorphen Scheibe im Komplement einer komplexen Hyperebene im ${\Bbb C}^n$ gezeigt, deren Rand auf einem geschlossenem Lagrangian liegt, der selbst im Komplement dieser Hyperebene liegt. Im wesentlichen wurde dafür Gromov's Argument für Lagrangians in ${\Bbb C}^n$ auf die speziellere Situation angewendet. Daraus ergeben sich Obstruktionen für bestimmte Lagrangians im Komplement von Hyperflächen.
[h]
Hermitesche Geometrie, konforme Geometrie in Dimension 4 und 3-dimensionale Sasaki-Mannigfaltigkeiten

(F. Belgun)
Es wurden lokal-konforme Kähler-Mannigfaltigkeiten in der Dimension $n=4$ und deren Deformationen studiert. Insbesondere konnte unter Verwendung der Kodaira-Theorie eine Klassifikation derartiger Räume mit paralleler Lee-Form erzielt werden. Mittels Twistortheorie werden 4-dimensionale, komplexe und selbstduale Riemannsche Mannigfaltigkeiten studiert und bewiesen, daß sie konform-flach im Fall der Existenz von Null-Geodätischen sind. Das Produkt einer Sasaki-Mannigfaltigkeit mit $S^1$ ist lokal-konform kählersch mit paralleler Lee-Form. Unter Verwendung der letztgenannten Resultate konnten Strukturaussagen über 3-dimensionale Sasaki-Mannigfaltigkeiten sowie deren Automorphismengruppe erzielt werden.
Drittmittel: Die gesamte wissenschaftliche Arbeit der Forschungsgruppe ,,Differentialgeometrie und Globale Analysis`` wurde in den Jahren seit 1992 durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft im Rahmen des Sonderforschungsbereiches SFB 288 ,,Differentialgeometrie und Quantenphysik`` gefördert.
 

Publikationen seit 1997

[1]
Agricola, I.: Die Korrelationen zwischen den unitären Symmetrien des Standardmodells der Elementarteilchen, Diplomarbeit, Ludwig-Maximilians-Universität München, 1996.
[2]
Agricola, I.: Covering groups of the gauge group for the standard elementary particle model, Nucl. Phys. B [PM] 518 (1998) 3, 729-744.
[3]
Agricola, I.: Invariante Differentialoperatoren und die Frobenius-Zerlegung einer $G$-Varietät, Preprint SFB 288, 1999, Math.DG/9906091. Erscheint in: Journ. Lie Theory.
[4]
Agricola, I.: Construction of Harish-Chandra-modules through invariant differential operator actions on homogeneous bundles, Preprint SFB 288, 1999/2000.
[5]
Agricola, I.: $G$-invariante Differentialoperatoren auf algebraischen Mannigfaltigkeiten und deren Charaktere, Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin,

1999/2000.
[6]
Agricola, I.; Ammann, B.; Friedrich, Th.: A comparison of the eigenvalues of the Dirac and Laplace operator on the two-dimensional torus, Manuscripta Math. 100 (1999), 231-258.
[7]
Agricola, I.; Friedrich, Th.: The Gaussian measure on algebraic varieties, Fund. Math. 159 (1999), 91-98.
[8]
Agricola, I.; Friedrich, Th.: Upper bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator on surfaces, Journ. Geom. Phys. 30 (1999), 1-22.
[9]
Belgun, F.A.: Géométrie conforme et géométrie CR en dimension 3 et 4, Dissertation à L'Ecole Polytechnique Paris, 1999.
[10]
Belgun, F.A.: On the Weyl tensor of a self-dual complex four-manifold, Preprint Ecole Polytechnique 98-17, 1998.
[11]
Belgun, F.A.; Moroianu, A.: Nearly Kähler manifolds with reduced holonomy. Erscheint in: Ann. Glob. Anal. Geom..
[12]
Belgun, F.A.: On the metric structure of non-Kähler complex surfaces. Erscheint in: Math. Ann..
[13]
Belgun, F.A.: Normal CR structures on compact three-manifolds, Preprint 1999.
[14]
Buchholz, V.: Spinor equations in Weyl geometry, Preprint SFB 288, 1999. Erscheint in: Suppl. di Rend. Circ. Mat. Palermo.
[15]
Buchholz, V.: A note on real Killing spinors in Weyl geometry, Preprint SFB 288, 2000. Erscheint in: Journal of Geometry and Physics.
[16]
Friedrich, Th.: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, Adv. Lectures in Mathematics, Vieweg-Verlag Braunschweig/Wiesbaden 1997.
[17]
Friedrich, Th.: Dirac Operators in Riemannian Geometry, Publikationen der AMS (erscheint 2000 - Übersetzung und Überarbeitung des Buches).
[18]
Friedrich, Th.: Weak $Spin(9)$-structures on 16-dimensional Riemannian manifolds, Math.DG/9912112.
[19]
Friedrich, Th.: Cartan spinor bundles on manifolds, Preprint SFB 288, 1998,

Math.DG/9802033. Erscheint in: Reports on Mathematical Physics.
[20]
Friedrich, Th.: On superminimal surfaces, Archivum Mathematicum 33 (1997), 41-56.
[21]
Friedrich, Th.: On the spinor representation of surfaces in Euclidean 3-spaces, Journ. Geom. Phys. 28 (1998), 143-157.
[22]
Friedrich, Th.: A geometric estimate for a periodic Sturm-Liouville operator whose potential is the curvature of a spherical curve, Preprint SFB 288, 1999,

Math.DG/9904123. Erscheint in: Colloquium Mathematicum.
[23]
Friedrich, Th.; Eichhorn, J.: Seiberg-Witten Theory, Publikationen des Banach-Zentrums Warschau 39 (1997), 231-267.
[24]
Friedrich, Th.; Kath, I.; Moroianu, A.; Semmelmann, U: On nearly parallel $G_2$-structures, Journ. Geom. Phys. 23 (1997), 259-286.
[25]
Friedrich, Th.; Kim, E.C.: Some remarks on the Hijazi inequality and generalizations of the Killing equation for spinors. Erscheint in: Journal of Geometry and Physics.
[26]
Friedrich, Th.; Trautman, A.: Clifford structures and spinor bundles, Preprint SFB 288, 1997.
[27]
Friedrich, Th.; Trautman, A.: Spin spaces, Lipschitz groups and spinor bundles, Preprint SFB 288, 1999, Math.DG/9901137. Erscheint in: Ann. Glob. Anal. Geom., special issue dedicated to Alfred Gray (ed. by K. Grove and J. Rosenberg).
[28]
Huisken, G.; Klingenberg, W.: Flow of real hypersurfaces by the trace of the Levi form, Preprint SFB 288, 1999. Erscheint in: Mathematical Research Letters.
[29]
Kim, E.C.; Friedrich, Th.: The Einstein-Dirac Equation on Riemannian Spin Manifolds, Journ. Geom. Phys. 33 (2000), 128-172.
[30]
Kim, E.C.: Die Einstein-Dirac-Gleichung über Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeiten, Dissertation, Humboldt-Universität zu Berlin, 1999.
[31]
Kirchberg, K.D.: Holomorphic spinors and the Dirac equation, Ann. Glob. Anal. Geom. 17 (1999), 97-111.
[32]
Klingenberg, W.: Real hypersurfaces in Kähler manifolds I, Preprint SFB 288, 1999. Erscheint in: Asian Journal of Mathematics.
[33]
Klingenberg, W.: Real hypersurfaces in Kähler manifolds II, Preprint SFB 288, 1999. Erscheint in: Asian Journal of Mathematics.
[34]
Klingenberg, W.: Reelle Hyperflächen in Kähler-Mannigfaltigkeiten, Habilitationsschrift, Tübingen, 1997.
[35]
Klingenberg, W.: Moduli space of holomorphic discs with boundary, Arch. Math. 69 (1997), 249-253.
[36]
Klingenberg, W.: Stability of the Bishop Family of Holomorphic Dics, In: Symplectic Singularities And Geometry Of Gauge Fields, Banach Center Publications 39 (1997), 73-76.
[37]
Klingenberg, W.: Asymptotics in a Riemann-Hilbert boundary problem for pseudoholomorphic discs, 1999.
[38]
Mohnke, K.: Fillings by holomorphic discs of the levels of a Morse function on a real hypersurface in ${\Bbb C}^2$, Dissertation, 1997.
[39]
Mohnke, K.: On fillings by holomorphic discs of the levels of a Morse function, Diff. Geom. and Appl. 10 (1999), 27-42.
[40]
Mohnke, K.: Lagrangian embeddings and holomorphic discs in the complement of complex hypersurfaces. Eingereicht bei: Israel Journal of Mathematics.
[41]
Moroianu, A.: On Kirchberg's inequality for compact Kähler manifolds of even complex dimension, Ann. Glob. Anal. Geom. 15 (1997), 235-242.
[42]
Moroianu, A.: Parallel and Killing spinors on Spin$^{\Bbb C}$ manifolds, Commun. Math. Phys. 187 (1997), 417-428.
[43]
Moroianu, A.: Complex contact structures and Spin$^{\Bbb C}$-manifolds, Commun. Math. Phys. 193 (1998), 661-674.
[44]
Moroianu, A.: Kähler manifolds with small eigenvalue of the Dirac operator and a conjecture of Lichnerowicz, Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 1637-1659.
[45]
Moroianu, A.: On the infinitesimal isometries of manifolds with Killing spinors, Preprint SFB 288, 1997.
[46]
Ramacher, P.: Modular localization of elementary systems in the theory of Wigner, Preprint SFB 288, 1999, Math.RT/9909112. Eingereicht bei: Journ. of Phys. A..


Diplomarbeiten:

Dissertationen: