Prof. Dr. Helga Baum

 

Wissenschaftlicher Werdegang

1972-1977	Studium der Mathematik
1977	Diplom
1981	Promotion (Dr. rer. nat.)
1989	Promotion B
1980-1989	wissenschaftliche Assistentin
1989-1993	wissenschaftliche Oberassistentin, alles an der Humboldt-Universität zu Berlin
seit 1993	Professorin (C3) für Mathematik/Globale Analysis an der Humboldt-Universität zu Berlin

Projekt:

Spinorielle Feldgleichungen in der pseudo-Riemannschen Geometrie

Beteiligte Wissenschaftler: Dr. Ines Kath, Tobias Kunstmann (Doktorand 1.1.98 - 31.9.98), Felipe Leitner (Doktorand seit 1.4.1998), Thomas Leistner (Doktorand seit 1.6.1999)
Diplomanden seit 1997: Tobias Kunstmann, Felipe Leitner, Christoph Bohle (FU), Thomas Leistner, Carsten Lange (FU), Bruno Hartmann, Frederik Witt, Thomas Neukirchner

In dem Projekt wird die Lösbarkeit von spinoriellen Feldgleichungen über Mannigfaltigkeiten mit indefiniten Metriken, insbesondere über Lorentz-Mannigfaltigkeiten, untersucht. Dabei geht es um den Zusammenhang zwischen den analytischen Eigenschaften dieser Lösungen und der Geometrie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit. Das Interesse an solchen spinoriellen Feldgleichungen (Diracgleichung, Twistorgleichung, Killinggleichung usw.) stammt ursprünglich aus der mathematischen Physik (Relativistische Quantenmechanik, Supergravitationstheorien, Stringtheorien). Ihre Untersuchung wirft auch unabhängig von physikalischen Motivationen interessante differentialgeometrische, analytische und darstellungstheoretische Fragen auf. Bei der Untersuchung solcher Feldgleichungen im Kontext indefiniter Geometrien treten grundsätzlich andere analytische und geometrische Effekte auf als bei entsprechenden Untersuchungen in der Riemannschen Geometrie, die vergleichsweise weit fortgeschritten sind. Diese Effekte sind bisher im wesentlichen unverstanden, mathematische Methoden zu ihrer Bearbeitung nur in Ansätzen entwickelt. Im einzelnen haben wir in unserer Arbeitsgruppe folgende Teilprojekte bearbeitet:

1. Normal-hyperbolische Differentialoperatoren, insbesondere die Gültigkeit des Huygensschen Prinzips für den Dirac-Operator einer Lorentz-Mannigfaltigkeit
Huygenssche Opearatoren sind spezielle normal-hyperbolische Differentialoperatoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die dadurch charakterisiert sind, daß die Träger der Fundamentallösungen bez. kausaler Gebiete vollständig in den entsprechenden Lichtkegeln liegen, während sie im allgemeinen im Zukunfts- bzw. Vergangenheitskegel enthalten sind. Diese Eigenschaft hat zur Folge, daß die durch den Operator beschriebene Wellenausbreitung ``scharf'' ist, d.h. ein Beobachter registriert ein ausgesendetes Signal nur innerhalb eines beschränkten Zeitintervalls wie etwa bei Schallwellen - im Vergleich zu Wasserwellen, wo dies nicht gilt. Bereits seit den 20er Jahren (beginnnend mit Hadamard) wird die Frage untersucht, unter welchen Bedingungen an die Lorentzgeometrie bestimmte Klassen von normal-hyperbolischen Operatoren vom Huygensschen Typ sind. Einen Überblick über die seit dieser Zeit dazu entwickelten Methoden und die vorliegenden Ergebnisse gibt die Arbeit [6]. Für den Dirac-Operator 4-dimensionaler Raumzeiten wurde diese Frage bereits in den 70er Jahren von V. Wünsch bearbeitet und gelöst (eine moderne Darstellung dieser Ergebnisse findet man in der Diplomarbeit von Thomas Leistner). In der Arbeit [B1] wird bewiesen, daß der Dirac-Operator über ebenen Gravitationswellen (pp-waves) und Lorentz-Räumen konstanter Krümmung beliebiger (gerader) Dimension vom Huygensschen Typ ist.

2. Spektraleigenschaften des Dirac-Operators über pseudo-Riemannschen Räumen
Im Gegensatz zum Dirac-Operator Riemannscher Mannigfaltigkeiten sind bisher nur wenige konkrete Aussagen über das Spektralverhalten des Dirac-Operators pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten bekannt. Im Gegensatz zum Riemannschen Fall ist der Dirac-Operator einer pseudo-Riemannschen Spin-Mannigfaltigkeit weder wesentlich selbstadjungiert (in einem Hilbertraum), noch elliptisch und schon im kompakten Fall i.a. nicht mehr Fredholmsch.
Man kann diesen Operator jedoch als unbeschränkten und unter zusätzlichen geometrischen Bedingungen wesentlich selbstadjungierten Operator in einem Kreinraum von unendlichem Index auffassen. Daraus folgen Symmetrieeigenschaften für die Spektralteile und die Nichtexistenz von Restspektrum aufgrund von zusätzlichen Symmetrien im Spinorbündel im Falle gerade-dimensionaler und für einen Teil ungeraddimensionaler Basis-Mannigfaltigkeiten. Für einzelne kompakte indefinite Räume sind die Eigenwert-Spektren des Dirac-Operators bisher vollständig berechnet worden (z.B. für flache Tori, Berger-Sphären, den kompaktifizierten Minkowski-Raum). Eine Ausarbeitung dieser Ergebnisse findet man in der Diplomarbeit von Carsten Lange. In der Arbeit [13] von Tobias Kunstmann wird das Spektrum des Dirac-Operators pseudo-Riemannscher Räume konstanter positiver Schnittkrümmung untersucht. Diese Räume sind nichtkompakte halbeinfache symmetrische Räume vom Rang 1, der Raum der quadratisch-integrierbaren Spinoren ist eine Darstellung der maximal-kompakten Untergruppe $K$ der Isometriegruppe. Durch die Definition und das Studium einer geeigneten Poissontransformation und die explizite Konstruktion der Resolvente des Dirac-Operators auf den isotypen Komponenten dieser $K$-Darstellung gelingt es, das volle Eigenwert-Spektrum und das stetige Spektrum auf den isotypen Komponenten zu berechnen. Ein Restspektrum tritt nicht auf.

3. Die Twistorgleichung auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten und ihre Beziehung zu CR- und Kähler-Geometrie
Die Twistorgleichung ist eine spezielle konform-invariante Spinorfeld-Gleichung, die in den 70er Jahren von R.Penrose und seinen Mitarbeitern für 4-dimensionale Raumzeiten formuliert und im konform-flachen Fall untersucht wurde. Parallele und Killingspinoren sind spezielle Lösungen der Twistorgleichung, nämlich diejenigen, die gleichzeitig die Eigenwert-Gleichung für den Dirac-Operator erfüllen. In den letzten Jahren gab es umfangreiche Untersuchungen und Ergebnisse über Lösungen der Twistorgleichung im Kontext der Riemannschen konformen Geometrie (Lichnerowicz, Friedrich, Habermann, Rademacher, Kühnel), während es bislang wenige differentialgeometrische Untersuchungen dieser Gleichung in ihrem ursprünglichen Kontext, der Lorentz-Geometrie, gibt. 1991 wies J. Lewandowski im Rahmen der ART auf eine Beziehung zwischen lokalen Lösungen der Twistorgleichung und speziellen 4-dimensionalen Raumzeiten vom Petrov-Typ $N$ hin, den Fefferman-Räumen. Fefferman-Räume sind konforme Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die als Totalräume von Sphärenbündeln mit lichtartiger Faser über CR-Mannigfaltigkeiten mit positiv-definiter Leviform auftreten. Sie wurden 1976 von Feffermn für den Fall strikt pseudokonvexer Hyperflächen im komplexen Raum definiert. Diese Definition wurde von Burns, Diederich, Shnider, Farris und Lee auf den Fall abstrakter (nicht eingebetteter) CR-Mannigfaltigkeiten ausgedehnt. Sparling, Graham, Lee, Koch ua. studierten geometrische Eigenschaften von Fefferman-Räumen. Inhalt unserer Arbeiten [2] und [3] ist die Beschreibung der Beziehung zwischen Fefferman-Räumen und Lösungen der Twistorgleichung im allgemeinen differentialgeometrischen Kontext. Durch die Entwicklung eines geeigneten Spinorkalküls für Bündel mit lichtartiger Faser und die Modifizierung des topologischen Typs des in der Konstruktion auftretenden Sphärenbündels gelingt es, die Existenz globaler Lösungen der Twistorgleichung auf den (modifizierten) Fefferman-Räumen zu beweisen, diese explizit zu konstruieren und ihre Eigenschaften zu beschreiben. Die Fefferman-Geometrie ist durch spezielle Eigenschaften der Lösungen der Twistorgleichung lokal eindeutig charakterisiert.
In der Arbeit [4] werden alle Lösungen der Twistorgleichung auf den symmetrischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten explizit beschrieben.
Christoph Bohle hat in seiner Diplomarbeit Klassifikationsresultate für 4-dimensionale Raumzeiten mit Twistorspinoren bewiesen. Eine twistortheoretische Interpretation der Lorentzschen Twistorspinoren über 4-dimensionalen (reellen) Raumzeiten als holomorphe Schnitte (bez. einer optischen Struktur) im kanonischen Linienbündel über dem Twistorraum wird von Felipe Leitner in [14] angegeben. Bisher liegt allerdings noch keine Theorie holomorpher Schnitte in optischen Bündeln vor, die Kriterien für die Existenz solcher Schnitte liefern würde.
In der Arbeit [8] beschreibt Christoph Bohle die geometrische Struktur aller Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit reellen Killingspinoren. In Abhängigkeit vom Vorzeichen eines 1. Integrals splittet sich die Lorentz-Mannigfaltigkeit (mit Ausnahme gewisser ausgearteter Hyperflächen) in warped products über Riemannschen Mannigfaltigkeiten, deren spezielle geometrische Strukturen man beschreiben kann, da sie ihrerseits Lösungen spezieller Spinorfeld-Gleichungen besitzen.
Desweiteren wird in [8] eine spezielle Klasse von Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit imaginären Killingspinoren untersucht, die Lorentzschen Einstein-Sasaki-Mannigfaltigkeiten. Das sind diejenigen Lorentz-Mannigfaltigkeiten, deren Kegel mit zeitartiger Kegelachse die Holonomie SU(1,m) hat. Lorentzsche Einstein-Sasaki-Strukturen treten auf Sphärenbündeln über Kähler-Einstein-Räumen mit negativer Skalarkrümmung auf. Auch diese Strukturen lassen sich durch spezielle Lösungen der Twistorgleichung eindeutig charakterisieren.
Weitere Untersuchungen werden sich vor allem auf spezielle Spinorfelder mit assoziierten infinitesimalen Isometrien konzentrieren.

4. Nullstellen von konformen Vektorfeldern und Twistorspinoren
Konforme Abbildungen und konforme Vektorfelder sind ein klassisches Untersuchungsgebiet der Riemannschen und pseudo-Riemannschen Geometrie in der Dimension $n \geq 3$. Im Zusammenhang mit der Untersuchung von Twistorspinoren mit Nullstellen tritt insbesondere die Frage nach der Existenz von wesentlich konformen Vektorfeldern und nach deren geometrischen Konsequenzen auf. Die Nullstellenmenge eines wesentlich konformen Vektorfeldes einer Riemannschen Mannigfaltigkeit besteht aus isolierten Punkten, in deren Umgebung die konforme Struktur des Raumes flach ist. Im Gegensatz dazu ist die Nullstellenmenge eines wesentlich konformen Vektorfeldes einer pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit i.a. keine Untermannigfaltigkeit. In der Arbeit [16] untersucht Felipe Leitner die lokale Struktur der Nullstellenmenge von wesentlich konformen Vektorfeldern von Lorentz-Mannigfaltigkeiten, die in jedem Punkt ihrer Nullstellenmenge kovariant konstant sind. Davon ausgehend kann er die Struktur der Nullstellenmenge von Twistorspinoren auf Lorentz-Mannigfaltigkeiten vollständig beschreiben. In weiteren Untersuchungen sollen Beispielklassen für verschiedene Sorten von Nullstellenverhalten gefunden und diskutiert werden.

5. Parallele Spinoren und Holonomiedarstellungen
In vielen Fällen kann das Studium von Lösungsräumen für Spinorfeld-Gleichungen durch geschickte geometrische Konstruktionen auf die Frage der Existenz von parallelen Spinoren zurückgeführt werden. Die Frage, welche Geometrien bestimmte parallele geometrische Objekte, z.B. parallele Spinoren, zulassen, führt auf die Frage nach den möglichen Holonomiegruppen semi-Riemannscher Mannigfaltigkeiten bzw. spezieller Zusammenhänge und auf die Frage nach den trivialen Teildarstellungen der Wirkung dieser Gruppen über den dem Problem angepaßten Darstellungsräumen. Die Gruppen, die als Holonomiegruppen irreduzibler 1-zusammenhängender semi-Riemannscher bzw. affiner torsionsfreier Mannigfaltigkeiten auftreten können, wurden in den letzten 40 Jahren vollständig klassifiziert. Ausgehend davon hat McK. Wang 1989 die möglichen Holonomiegruppen einfach-zusammenhängender irreduzibler Riemannscher Mannigfaltigkeiten angegeben, die parallele Spinoren besitzen : $SU(m)$ (= Ricci-flache Kähler-Mannigfaltigkeiten), $Sp(m)$ (= Hyperkähler-Mannigfaltigkeiten) , $G_2$ und $Spin(7)$. In der Arbeit [7] beschreiben wir die möglichen Holonomiedarstellungen 1-zusammenhängender, nicht-lokalsymmetrischer, irreduzibler pseudo-Riemannscher Mannigfaltigkeiten, die parallele Spinoren zulassen, und bestimmen deren kausalen und chiralen Typ.
Bei der Untersuchung von Spinorfeld-Gleichungen im Kontext indefiniter Geometrien benötigt man im Gegensatz zum Riemannschen Fall zusätzlich die Kenntnis unzerlegbarer, aber reduzibler Holonomiedarstellungen. Dazu gibt es bislang in der Differentialgeometrie fast keine Ergebnisse. Thomas Leistner untersucht solche Fragestellungen z.Z. im Rahmen seiner Promotion für den Fall von Lorentz-Mannigfaltigkeiten.
In der Arbeit [17] zeigt Felipe Leitner, daß die Twistorgleichung als Parallelitätsgleichung bezüglich des normalen konformen Cartan-Zusammenhanges interpretiert werden kann. Dadurch kann man die Existenz von Lösungen der Twistorgleichung auf lokal konform-flachen semi-Riemannschen Mannigfaltigkeiten durch Eigenschaften der Holonomiedarstellung der Fundamentalgruppe des Basisraumes charakterisieren. Die Hoffnung ist, daß es gelingt, über geeignete geometrische Konstruktionen Holonomiemethoden auch im Fall der allgemeinen Twistorgleichung anwendbar zu machen.
In der Arbeit [11] untersucht Ines Kath eine spezielle Klasse paralleler Spinoren, die der reinen parallelen Spinoren. Unter Ausnutzung der Äquivalenz zwischen parallelen projektiven reinen Spinoren und parallelen orthogonalen optischen Strukturen werden die Krümmungsbedingungen für die Existenz eines parallelen reinen Spinors hergeleitet. Für die Signaturen $(m,m)$ und $(m+1,m)$ wird davon ausgehend die lokale Normalform der Metriken bestimmt, die parallele reine Spinoren zulassen.
Die Arbeit [4] zeigt u.a., daß es homogene, nichtflache Lorentz-Räume mit parallelen Spinoren gibt - ein Effekt, der im Riemannschen Fall nicht auftritt. Im weiteren sollen homogene Lorentz-Mannigfaltigkeiten mit speziellen Krümmungseigenschaften genauer studiert werden, insbesondere solche, die Ricci-flach sind, total isotropen Ricci-Tensor haben bzw. parallele Spinoren besitzen.

6. Killingspinoren und $G$-Strukturen auf pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten
Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Killingspinoren sind seit 1980 eingehend untersucht worden. Die speziellen Geometrien, die solche Spinorfelder zulassen, sind inzwischen bekannt und in kleinen Dimensionen weitgehend klassifiziert. Die grundlegende Idee für die Klärung der geometrischen Verhältnisse im Riemannschen Fall (Ch. Bär, 1993) ist auch im pseudo-Riemannschen Kontext anwendbar: Eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit $M$ hat genau dann reelle Killingspinoren, wenn der Kegel über $M$ parallele Spinoren und damit spezielle Holonomiedarstellungen besitzt. Jede dieser Holonomiedarstellungen definiert eine bestimmte Geometrie auf dem Kegel und eine daraus zu ermittelnde Geometrie auf $M$. In der Arbeit [12] von Ines Kath wird diese Idee benutzt, um diejenigen pseudo-Riemannschen Geometrien zu bestimmen, deren Kegel die in der Arbeit [7] gefundenen irreduziblen Holonomiedarstellungen bzw. davon abgeleitete reelle Formen haben. Für diese Geometrien werden systematisch Beispielklassen konstruiert. Im einzelnen sind dies: Zeitartige Einstein-Sasaki-Strukturen in Signatur $(m+1,m)$, raumartige Einstein-Sasaki-Strukturen in Signatur $(2p.2q+1)$, $(2,1)$-Sasaki-Strukturen in Signatur $(2m+2,2m+1)$, 3-Sasaki-Strukturen in Signatur $(4r,4s+3)$, nearly-Kähler-Strukturen in Signatur $(4,2)$, fast-parallele Bilagrange-Strukturen in Signatur $(3,3)$ und fast-parallele $G_{2,(2)}^*$-Strukturen in Signatur $(4,3)$, (siehe auch [9]).
In den Arbeiten [10] und [12] wird von Ines Kath eine Dualitätstheorie zwischen homogenen Riemannschen und homogenen pseudo-Riemannschen Räumen (T-Dualität) ausgearbeitet und zur Konstruktion von indefiniten homogenen Mannigfaltigkeiten mit reellen Killingspinoren benutzt. Einem Riemannschen homogenen Raum $G/H$ wird mittels spezieller Involutionen auf der Liealgebra der Isometriegruppe eine Serie pseudo-Riemannscher homogener Räume $G'/H'$ zugeordnet, die aus den durch die Involutionen entstehenden nichtkompakten reellen Formen der komplexifizierten Liealgebra der Isometriegruppe gebildet werden. Dann gibt es einen engen Zusammenhang zwischen Krümmungseigenschaften des Riemannschen homogenen Raumes und seiner pseudo-Riemannschen T-Duale, $G$-invariante Objekte auf $G/H$ entsprechen $G'$-invarianten Objekten auf $G'/H'$. Da Killingspinoren auf Riemannschen homogenen Räumen in den meisten Fällen $G$-invariant sind, lässt sich dies insbesondere zur Konstruktion von pseudo-Riemannschen Räumen mit Killingspinoren verwenden. Anwendungsbeispiele sind ua. Twistor- und Reflektorräume 4-dimensionaler semi-Riemannscher Sphären und projektiver Räume.

7. Der Twistorraum einer reellen 4-dimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit und Flächentheorie
Twistormethoden werden in der Differentialgeometrie seit längerem zum Studium geometrischer Klassifikationsprobleme benutzt. Dabei wird z.B. einer 4-dimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit ein 6-dimensionaler Twistorraum zugeordnet, der eine unter gewissen geometrischen Bedingungen integrierbare fastkomplexe Struktur trägt. Geometrische Fragen der 4-dimensionalen Riemannschen Geometrie können dann in Probleme der 3-dimensionalen komplexen Geometrie übersetzt werden, für deren Lösung man zusätzlich die Methoden der komplexen Analysis und algebraischen Geometrie zur Verfügung hat.
In Analogie zur Twistorkonstruktion von Atiyah, Hitchin und Singer für 4-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten haben Jensen und Rigoli Twistor- und Reflektorräume für 4-dimensionale neutrale Mannigfaltigkeiten betrachtet. Machida, Sato und Nurowski haben diese Untersuchungen auf den Fall 4-dimensionaler reeller Lorentz-Mannigfaltigkeiten ausgedehnt. Insbesondere tritt an die Stelle der komplexen Geometrie des Riemannschen Twistorraumes im Lorentzschen die optische Geometrie. In den Arbeiten [14] und [15] werden diese optischen Geometrien und die mit ihnen verbundenen CR-Geometrien von Felipe Leitner eingehender und insbesondere am Beispiel der drei Typen von Lorentzschen Raumformen untersucht.
Eine bekannte Anwendung der Riemannschen Twistortheorie ist die Beschreibung und Konstruktion minimaler Flächen in Riemannschen 4-Mannigfaltigkeiten mittels holomorpher Kurven im Twistorraum. Diese Idee wird von Jensen und Rigoli zur Untersuchung von Lorentz-Flächen in neutralen 4-Mannigfaltigkeiten und von Felipe Leitner in [15] zur Untersuchung raumartiger Flächen in Lorentz-4-Mannigfaltigkeiten aufgegriffen. Es existiert eine Korresprondenz zwischen isotrop-umbilischen Flächen und Flächen mit isotroper mittlerer Krümmung in einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit auf der einen Seite und und holomorphen Kurven (bez. der optischen Struktur) im Twistorraum auf der anderen Seite. Damit werden alle isotrop-umbilischen Flächen und alle Flächen mit isotroper mittlerer Krümmung in den Lorentzschen Raumformen klassifiziert.
 

Drittmittel: Das Projekt wird von der DFG im Rahmen des SFB 288 ,,Differentialgeometrie und Quantenphysik`` (Teilprojekt B1) und des Graduiertenkollegs ,,Geometrie und nichtlineare Analysis`` gefördert.
 

Publikationen und Preprints

[5]

Baum, H.: The Dirac operator on Lorentzian spin manifolds and the Huygens property, Journ. Geom. Phys. 23 (1997), 42-64.

[6]

Baum, H.: Lorentzian twistor spinors and CR-Geometry, Diff. Geom. and its Appl. 11 (1999), 69-96.

[7]

Baum, H.: Twistor spinors on Lorentzian manifolds, CR-Geometry and Fefferman spaces, Proc. of the International Conference on Differential Geometry and its Applications, Brno 10.-14.8.1998, Brno 1999, 29-38.

[8]

Baum, H.: Twistor spinors on Lorentzian symmetric spaces, Journ. Geom. Phys. 619 (1999), 1-17.

[9]

Baum, H.: Twistor and Killing spinors on Lorentzian manifolds. Erscheint in: Séminaires & Congrès of the French Mathematical Society.

[10]

Baum, H.; Kath, I.: Normally hyperbolic operators, the Huygens property and conformal geometry, Ann. Glob. Anal. Geom. 14 (1996), 315-371.

[11]

Baum, H.; Kath, I.: Parallel spinors and holonomy groups on pseudo-Riemannian spin manifolds, Ann.Glob.Anal.Geom. 17 (1999), 1-17.

[12]

Bohle, Ch.: Killing spinors on Lorentzian manifolds. Erscheint in: J. Geometry and Physics.

[13]

Kath, I.: $G^*_{2(2)}$-Structures on pseudo-Riemannian manifolds, J.Geometry and Physics 27 (1998), 155-177.

[14]

Kath, I.: Pseudo-Riemannian T-duals of compact Riemannian homogeneous spaces. Erscheint in: Transformation Groups.

[15]

Kath, I.: Parallel Pure Spinors on Pseudo-Riemannian Manifolds. Erscheint in: Geometry and Topology of Submanifolds, Bd X.

[16]

Kath, I.: Killing spinors on pseudo-Riemannian manifolds, Habilitationsschrift, Humboldt-Universität zu Berlin, 1999.

[17]

Kunstmann, T.: Spectral properties of the Dirac operator on pseudo-Riemannian space forms, Preprint SFB 288, 1998.

[18]

Leitner, F.: The twistor space of a Lorentzian manifold, Preprint SFB 288, 1998.

[19]

Leitner, F.: Twistorial constructions of spacelike surfaces in Lorentzian 4-manifolds, Preprint SFB 288, 1999. Erscheint in: Geometry and Topology of Submanifolds, Bd X.

[20]

Leitner, F.: Zeros of conformal vector fields and twistor spinors in Lorentzian geometry, Preprint SFB 288, 2000.

[21]

Leitner, F.: Normal conformal Cartan connection, twistor equation and holonomy representation, Preprint SFB 288, 2000.