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Wissenschaftlicher Werdegang
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Wichtige Forschungsaufenthalte Forschungsaufenthalte am Mathematischen
Institut der Ukrainischen Akademie der Wissenschaften Kiev (1997), an der
Universität Trieste (1998) sowie am Mathematischen Institut der Tschechischen
Akademie der Wissenschaften Prag (1999)
Projekt 1: Bifurkationstheorie und Laserdynamik
Beteiligte Wissenschaftler: Dr. Frank Jochmann (Sonderforschungsbereich 555, Humboldt-Universität)
Kooperationspartner: Dr. Uwe Bandelow, Prof. Herbert Gajewski, Dr. Mindaugas Radziunas, Priv.-Doz. Dr. Klaus Schneider, Jan Sieber, Dr. Holger Stephan (alle Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin), Prof. Alexej Lopatin, Prof. Anatoly Samoilenko (beide Mathematisches Institut der Ukrainischen Akademie Wissenschaften Kiev), Dr. Olaf Brox, Dr. Detleff Hoffmann, Dr. Hans-Peter Nolting, Dr. Bernd Sartorius (alle Heinrich-Hertz-Institut für Nachrichtentechnik Berlin), Prof. Vadim Strygin (Universität Voronezh), Priv.-Doz. Dr. Hans-Joachim Wünsche (Institut für Physik der Humboldt-Universität), Dr. Hans Wenzel (Ferdinand-Braun-Institut für Höchstfrequenztechnik Berlin)
Im Rahmen dieses Projekts werden mathematische Modelle (Randwertprobleme für nichtlineare hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen erster Ordnung, nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen) bearbeitet, die das dynamische Verhalten von Lasern (Mehrsektions-DFB-Halbleiter-Laser) beschreiben. Insbesondere geht es um dynamisches Verhalten (rotierende und modulierte Wellenlösungen und deren Synchronisationen, Bistabilität, Hysterese, Excitability), das in gewissem Sinne hochsingulär ist (es tritt u.a. in der Nähe von Bifurkationspunkten der Kodimension drei auf), das andererseits aber unter Laborbedingungen stabil reproduziert werden kann und das in optischen Kommunikationssystemen technologisch ausgenutzt und deshalb mit Hilfe mathematischer Modelle gesteuert und optimiert werden soll. In [1] uns [2] wurden mathematische Resultate zur erzwungenen Symmetriebrechung in abstrakten äquivarianten Gleichungen sowie zur erzwungenen Synchronisation in äquivarianten gewöhnlichen Differentialgleichungen erzielt, die in [3] auf eines der Laser-Modelle angewendet wurden. Dabei werden u.a. Techniken der äquivarianten Bifurkatonstheorie aus [4] benutzt. In [5] wurde das asymptotische Verhalten von Eigenwerten von Randwertproblemen beschrieben, das für Stabilitätsuntersuchungen bei den Lasermodellen relevant ist. Die Arbeit [6] zeigt, im Sinne welcher Funktionenräume die betrachteten Randanfangswertprobleme der räumlich eindimensionalen, sogenannten ,,longitutinalen`` Laserdynamik korrekt gestellt sind. Die Arbeiten [7] und [8] enthalten Ergebnisse zu Existenz, Eindeutigkeit, Regularität und Langzeitverhalten von Lösungen von Randanfangswertproblemen zu Systemen, bestehend aus dem Drift-Diffusions-System für den Ladungsträgertransport in Halbleitern und dem System der Maxwell-Gleichungen, die u.a. relevant sind für die zweidimensionale, ,,transversale`` Laserdynamik sowie für entsprechende gekoppelte, dreidimensionale Aufgaben.
Drittmittel:
Ein Teil der Arbeiten zu diesem Projekt läuft
im Rahmen des Themas ,,Analytische und numerische Untersuchungen zur Strukturbildung
in Halbleitern`` von H. Gajewski und L. Recke im Sonderforschungsbereich
555 ,,Komplexe nichtlineare Prozesse`` (Sprecher: W. Ebeling).
Projekt 2:
| Glatte Analysis für nichtlineare Randwertprobleme mit nichtglatten Daten |
Kooperationspartner: Prof. Konrad Gröger, Prof. Joachim Naumann (beide Institut für Mathematik der Humboldt-Universität), Jens Griepentrog, Dr. habil. Rolf Hünlich, Dr. sc. Joachim Rehberg (alle Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin), Prof. Milan Kucera, Dr. Jan Eisner (beide Mathematisches Institut der Tschechischen Akademie der Wissenschaften Prag)
Gegenstand des Projekts sind Rand- bzw. Randanfangswertprobleme für
nichtlineare partielle Differentialgleichungssysteme mit möglicherweise
nichtglatten Daten (nichtglatte Gebiete; sprunghafte Änderung des
Typs der Randbedingungen; Koeffizientenfunktionen, die möglicherweise
unstetig von den unabhängigen Variablen 
und 
,
aber glatt von der abhängigen Variablen 
abhängen). Solche Probleme sollen als glatte Operator- bzw. Evolutionsgleichungen
auf geeigneten Funktionenräumen modelliert werden, damit Sätze
und Verfahren der glatten Analysis (Satz über implizite Funktionen,
Newton-Verfahren, Satz von Sard-Smale, Sätze der analytischen Bifurkationstheorie,
Störungssätze für Eigenwerte und Eigenvektoren, Stabilitätsanalyse
stationärer Lösungen anhand des Spektrums der Linearisierung,
Liapunov-Schmidt-Reduktion, Reduktion auf invariante Mannigfaltigkeiten)
angewendet werden können. Dabei besteht eine wesentliche Schwierigkeit
in Folgendem: Einerseits besitzen die Lösungen im allgemeinen keine
hohe Regularität und liegen folglich nur in ,,großen`` Funktionenräumen,
die auch hinreichend nichtglatte Funktionen enthalten. Andererseits sind
bisher nur wenige hinreichende Bedingungen für die Differenzierbarkeit
von Superpositionsoperatoren (wie sie in den entsprechenden Operator- bzw.
Evolutionsgleichungen stehen) auf ,,großen`` Funktionenräumen
bekannt. In [9] wurde gezeigt, daß trotz dieser Schwierigkeit und
unter natürlichen Voraussetzungen der Satz über implizite Funktionen
auf eine große Klasse von nichtlinearen elliptischen Randwertproblemen
mit nichtglatten Daten anwendbar ist. In [10] wurden Lösungseigenschaften
linearer elliptischer Randwertprobleme mit nichtglatten Daten in Sobolev-Campanato-Räumen
bereitgestellt, die u.a. geeignet sind, die Ergebnisse von [9] auf eine
größere Klasse von nichtlinearen Gleichungen zu verallgemeinern.
Die dazu benötigten Funktionenräume wurden in [11] untersucht.
Publikationen
birthday of A. M. Samoilenko).
-invariant
Implicit Function Theorem. Erscheint in: Proceedings of the Equadiff 99,
World Scientific Publishing.