Dr. Frank Jochmann

 

 
 
 
 
 

Wissenschaftlicher Werdegang

1985-1989	Studium der Mathematik
1989	Diplom in Mathematik an der TU-Berlin
1990-1995	wissenschaftl. Mitarbeiter an der TU-Berlin
1992	Promotion (Dr.rer.nat.) in Mathematik an der TU-Berlin
1996-1997	DFG-Forschungsstipendium
1998	Postdoktorandenstipendium am Graduiertenkolleg Geometrie und nichtlineare Analysis am Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin
Seit 1998	wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Mathematik der HU.

Projekt:

Anfangs-Randwertprobleme aus der Halbleiterphysik und Elektrodynamik.

Kooperationspartner: L. Recke (Institut für angewandte Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin)

Ein Gegenstand der Untersuchungen ist das System

 

$$\partial_t\rho_k=\mbox{ div }[D_k\nabla \rho_k+(-1)^k\mu_k\rho_k{\bf E}]-R(x,\rho) \mbox{ f\uml {u}r }k\in\{1,2\}$$ (2)

 

$$\varepsilon\partial_t {\bf E}=\mbox{ curl }{\bf H}+{\bf j}......1\mbox{ und }\mu\partial_t {\bf H}=-\mbox{ curl }{\bf E}$$ (3)

auf $I\!\! R\times\Omega$, wobei $\Omega\subset I\!\! R^N$, $N\in\{2,3\}$, ein beschränktes Gebiet ist. Hier bezeichnen $\rho_1,\rho_2$ die Raumladungsdichten der Löcher und Elektronen, $({\bf E},{\bf H})$ das elektromagnetische Feld. Die Diffusions- und Beweglichkeitskoeffizienten, die Dielektrizitätszahl und die magnetsche Permeabilität werden mit $D_k,\mu_k,\varepsilon,\mu$ resp. bezeichnet. Im räumlich zweidimensionalen Fall liegt das elektrische Feld ${\bf E}=(E_1,E_2)$ parallel zur $(x_1,x_2)$-Ebene, während das magnetische Feld ${\bf H}=H\vec{e}_3$ senkrecht dazu steht.
Das System 2 - 3 wird durch geeignete, physikalisch motivierte Rand-Anfangsbedingungen ergänzt. Die Existenz von schwachen Lösungen $(\rho,{\bf E},{\bf h})$ kann im räumlich dreidimensionalen Fall gezeigt werden. Regularität und Eindeutigkeit schwacher Lösungen des obigen Systems im räumlich zweidimensionalen Fall wurden in [3] gezeigt.
Darüber hinaus wurde in [4] gezeigt, daß die Lösungen der Drift-diffusions-Gleichungen für $t\rightarrow\infty$ gegen einen stationäre Zustand konvergieren, falls dieser einer geeigneten Kleinheitsbedingung genügt.

Ein anderer, von dem oben beschriebenen unabhängiger Forschungsgegenstand war der quasistationäre Limes $\varepsilon\rightarrow 0$ in den Maxwell-Gleichungen in unbeschränkten Gebieten und eine $L^p$-Theorie für das entstehende (degeneriert-) parabolische System, siehe [5] und [8].

Als weitere Thematik ist die in [11] betrachtete Klasse semilinearer hyperbolischer Systeme der Form

 

$$\partial_t{\bf E}= E^{(1)}\cdot\left[\left(\sum_{k=1}^3 H_......tial_t{\bf F}= E^{(2)}\cdot\sum_{k=1}^3 H_k\partial_k{\bf E},$$ (4)

mit i.A. gemischten Randbedingungen auf $\partial\Omega$ untersucht worden.
Die gesuchten Funktionen sind ${\bf E}\in C([0,\infty),L^2(\Omega,I\!\! R^M))$ und ${\bf F}\in C([0,\infty),\\L^2(\Omega,I\!\! R^N))$. Hier ist $\Omega\subset I\!\! R^3$ ein bliebiges Gebiet. Die durch nichtlineare Funktion ${\bf S}$ gegebene Dämpfung ist nur auf gewissen Teilmenge $G\subset\Omega$ wirksam. Das System 4 enthält als Spezialfälle die Maxwell'schen Gleichungen und das der skalaren Wellengleichung $\partial_t^2u= \Delta u -g(x,\partial_tu)$ entsprechende System 1. Ordnung (mit i. A. gemischten Randbedingungen).

In [11] wird schwache Konvergenz der Lösung gegen einen stationären Zustand des Systems gezeigt. Für den Fall dass ${\bf S}$ monoton und unabhängig von $t$ ist kann lokale starke $L^q$-Konvergenz für alle $q\in[1,2)$ gezeigt werden.

Darauf aufbauend ist die Langzeitasymptotik für die Lösungen der Maxwell gleichungen in einem Außengebiet (mit gemischten Randbedingungen ) untersucht worden. Es wird unter geeigneten Annahmen über die Koeffizienten gezeigt, daß die Lösung sich asymptotisch für $t\rightarrow\infty$ wie ein im homogenen gesamten Raum ausbreitendes Wellenpaket verhält. Dabei werden ein $L^p$-Regularitätsresultat für die Maxwellgleichungen mit nichtglatten Koeffizienten $\varepsilon,\mu\in L^\infty(\Omega)$, [6], sowie $L^p$-Kommutatorabschätzungen verwendet.

Die gewonnenen Ergebnisse dienen auch als Ausgangspunkt fuer die Untersuchung der Langzeitasymtotik der Lösungen des Oszillatormodells der nichlinearen Optik, für das von J.L. Joly und J. Rauch die Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen bewiesen worden sind.

Ein zusätzlicher Forschungsgegenstand ist ein mathematisches Modell für DFB (distributed feedback) Halbleiterlaser, das durch das Differentialgleichungssystem

$$\partial_t n(t,z) = I(t,z)-\sigma (z)n(t,z)-G(z,n(t,z),\vert w(t,z)\vert^2),$$ (5)

$$\partial_t w (t,z) = \Big(-\partial_z w_1(t,z),\partial_z w_2(t,z)\Big) +S(z,n(t,z),\vert w (t,z)\vert^2)w (t,z),.$$ (6)

unter geeigneten Rand-Anfangsbedingungen beschrieben wird. Die Ladungsträgerkonzentration $n$ und die Lichtwellenamplituden
$w(t,z) =(w_1(t,z),w_2(t,z))\in C\!\!\!\! I^2$ sind die unbekannten Funktionen. Das System (5) ist ein hyperbolisches System 1. Ordnung gekoppelt mit einer gewöhnlichen Differentialgleichung. Die Funktionen $I$ repräsentiert den eingespeisten elektrischen Strom. Die matrixwertige Funktion $S$ enthält die Ausbreitungs-, und Kopplungskoeffizienten des Lasers. Es werden Frage zur Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen untersucht.
 

Publikationen

[1]

Jochmann, F.: A compactness result for vector fields with divergence and curl in $L^q(\Omega)$ involving mixed boundary conditions, Appl. Anal. 66 (1997), 198-203.

[2]

Jochmann, F.: A singular limit in the drift-diffusion model for semiconductors coupled with Maxwell's equations, Appl. Anal. 66 (1997), 121-136.

[3]

Jochmann, F.: Uniqueness and regularity for the two dimensional drift-diffusion model for semiconductors coupled with Maxwell's equations, J. Diff. Equations 147 (1998), 242-270.

[4]

Jochmann, F.: Convergence to stationary states of solutions of the transient drift-diffusion-equations for semiconductor devices with prescribed currents, Asympt. Anal. 18 (1998), 67-109.

[5]

Jochmann, F.: The semistatic limit for Maxwell's equations in an exterior domain, Comm. Part. Diff. Equations 23 (1998), 2035-2076.

[6]

Jochmann, F.: Regularity of weak solutions to Maxwell's Equations with mixed boundary conditions, Math. Meth. Appl. Sci. 22 (1999), 1255-1274.

[7]

Jochmann, F.: Some analytical results concerning the drift diffusion equations for semiconductor devices coupled with Maxwell's equations, Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications, ISNM, Birkhäuser Verlag, Basel, 1999.

[8]

Jochmann, F.: On the semistatic limit for Maxwell's equations, Partial Differential Equations, Theory and Numerical Solution, Chapman and Hall Research Notes in Mathematics, 1999.

[9]

Jochmann, F.: A $H^s$ regularity result for the gradient of solutions to elliptic equations with mixed boundary conditions, J. Math. Anal. Appl. 238 (1999), 429-450.

[10]

Jochmann, F.: Asymptotic behaviour of solutions of Maxwell's equations in exterior domains, Asymptotic Analysis 21 (1999), 331-363.

[11]

Jochmann, F.: Asymptotic behaviour of solutions to a class of semilinear hyperbolic systems in arbitrary domains, J. Diff. Equations 160 (2000), 439-466.

Joachim Naumann