Seminar über Kontaktgeometrie

Marc Kegel

Sommersemester 2024


Montags, 14:00 - 15:30, in Raum IA 1/53.

Sprechstunde / weitere Diskussion: nach dem Seminar oder nach Vereinbarung


Ankündigungen:

Inhalt: In diesem Seminar werden wir gemeinsam die Grundlagen der Kontaktgeometrie erarbeiten. Kontatstrukturen haben ihren Ursprung in der mathematischen Physik, wo Kontaktstrukturen zum Beispiel natürlich als Hyperebenenfelder auf Mannigfaltigkeiten von konstatnter Energie in der klassischen Mechanik auftreten. Von einem mathematischen Gesichtspunkt sind Kontaktstrukturen interessant auf Grund vielfältiger Beziehungen zu anderen Bereichen der Mathematik (z.B. zu dynamischen Systemen, komplexer Analysis, niedrigdimensionaler Topologie usw). Der Satz von Darboux besagt, dass je zwei Kontaktmannigfaltigkeiten lokal identisch sind. Deswegen hat die Kontaktgeometrie oft einen differentialtopologischen globalen Charakter, da es keine lokalen Invarianten (wie zum Beispiel Krümmungsbegriffe in der Riemannschen Geometrie) geben kann. Trotzdem beobachtet man oft globale Starrheitsphänomene in der Kontaktgeometrie.

In diesem Seminar werden wir gemeinsam einige ausgewählte Kapitel und Tehmen aus [E] und [G] ausarbeiten. Für eine erste Einführung in die Materie und die Vorstellung der möglichen Themen und deren Vergabe treffen wir uns zu einer Vorbesprechung am ersten Termin. Eine Anmeldung per E-Mail ist auch möglich.



Vorwissen: Vorrausgesetz werden die Anfängervorlesungen (Analysis I, II and Lineare Algebra I, II) und Grundkentnisse in der Topologie (glatte Mannigfaltigkeiten, Vektorfelder, Differentialformen, etc).



Leistungspunkte: Das Zeil eines wissenschaftlichen Seminars ist die Einübung einer wissenschaftlichen Diskussion. Dafür werden Sie unabhängig an einem fortgeschrittenen mathematischen Thema arbeiten und Ihre Erkentnisse vorstellen und diskutieren. Das ist natürlich nur möglich, wenn Sie bei den Seminarterminen anwesend sind. Um Leistungspunkte für dieses Seminar zu erhalten, müssen Sie aktiv an den Veranstaltungen teilnehmen. Zusätzlich muss ein Vortrag an der Tafel (nicht länger als 90 Minuten) gehalten werden.


Vorträge: Bei Bedarf werden wir weitere Themen besprechen. Mögliche Themen wären: Flächen in Kontaktstrukturen (charakteristische Blätterung, konvexe Flächen, Bennequin-Schranke), Klassifikationssätze (straffe Kontaktstrukturen, überdrehte Kontaktstrukturen, Legendre-Knoten), symplektische Füllungen, Kontakt-Dehn-Chirurgie, Offene Bücher und die Giroux-Korrespondenz...



Literatur:
15.04.24 Vorbesprechung und Übersicht
Marc Kegel
22.04.24 kein Seminar
29.04.24 Kontaktstrukturen (Definitionen, Beispiele, Gray-Stabilität, Darboux-Theorem) [G 1.1, 2.1, 2.2, 2.5.1]
Florian Buck
06.05.24 Legendre-Knoten (Definitionen, Beispiele, Front-Projektion, Approximationssätze) [G 3.1-3.3]
Bjarne Basner
13.05.24 kein Seminar
20.05.24 kein Seminar (Pfingsten)
27.05.24 Die Thurston-Bennequin invariante (Verschlingungszahlen, Definitionen, Beispiele, Berechnungsmethoden, Straffe und überdrehte Kontaktstrukturen) [G 3.4-3.5]
Marc Kegel
03.06.24 kein Seminar
10.06.24 Symplektische Füllungen (Symplektische Mannigfaltigkeiten, Beziehungen zur Kontaktgeometrie, verschiedene Arten von Füllungen) [G 5]
Marc Kegel
17.06.24 Holomorphe Kurven (Definitionen, fundamentale Sätze, Anwendungen auf Probleme in der Kontaktgeometrie und Reeb-Dynamik)
Jonas Fritsch
24.06.24 kein Seminar
01.07.24 Kontakt-Dehn-Chirurgie (Definition, Beispiele, Chirurgie und Füllungen) [G 6.1-6.2]
Lars Kelling
08.07.24 12:15-13:45, im Besprechungsraum IB E3/73
Der Satz von Ding und Geiges (Kontakt-Kirby-Bewegungen, die Homotopieinvarianten einer Kontaktstruktur in Chirurgie-Diagrammen, Kontaktstrukturen auf der 3-Sphäre)
Marc Kegel
15.07.24 kein Seminar
[E] J. Etnyre, Legendrian and Transversal Knots, 2004, available online at the arXiv.
[G] H. Geiges, An Introduction to Contact Topology, 2008, Cambridge University Press.

Knoty ein Programm von Stanislaus Stein um Legendre-Knoten und Kontaktstrukturen zu visualisieren.



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