Hinweis: Der Termin am 11.6. wird verlegt; bitte beachten Sie die Abstimmung im Seminar.

Voraussetzungen:
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Inhalt:
In leicht verständlicher Form wird an die Grundbegriffe der kommutativen Algebra und damit an Methoden zur Lösung polynomialer Gleichungen mit Mitteln der Computeralgebra herangeführt. Wir verwenden das auf Rechnungen in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie spezialisierte System Singular und geben gleichzeitig Hinweise zur Nutzung des Multi-Purpose Systems MuPaD . Eine für unsere Zwecke geeignete Einführung in beide Systeme findet sich in dem Skript, Kap. 2.6 (vgl. Lit. Angaben, 4).
Der Idealbegriff und der Begriff der Lösungsmenge eines Gleichungssystems stehen am Anfang der Überlegungen. Die Fälle linearer Polynome in mehreren Unbestimmten und beliebiger Polynome in einer Unbestimmten bilden die zunächst vertieften bzw. behandelten Spezialfälle eines allgemeinen Algorithmus. Der Buchberger-Algorithmus ist eine Verallgemeinerung des gaußschen Algorithmus und gibt eine prinzipielle Möglichkeit zur Lösung polynomialer Gleichungssysteme.

Zum Semesterbeginn wird hier ein Skript zugänglich sein (s. unten, 4), das einen Teil des behandelten Stoffs und Aufgaben dazu umfasst.

Sie können jetzt bereits Vortragsthemen auswählen und sich per e-mail anmelden: roczen@mathematik.hu-berlin.de

VORTRAGSTHEMEN
(Hinweise: Zu einzelnen Themen können mehrere Vorträge vergeben werden. Präzisierte und zusätzliche Literaturangaben werden mit den Vortragenden abgestimmt. Zu einigen Themen wird der Stoff nur so weit entwickelt, wie es für das Verständnis der folgenden erforderlich ist.)

• Ringe und ihre Faktorringe, Homomorphieprinzip (Ideale und Rechnen mit Idealen, Homomorphismen, von Teilmengen erzeugte Ideale, Primideale, Homomorphiesatz; Lit.: 1. Kap 1)
• Moduln und exakte Folgen (Moduln, Untermoduln, Homomorphieprinzip, exakte Folge eines Homomorphismus; Lit.: 1. Kap 2)
• Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X] (Euklidischer Algorithmus, irreduzible Polynome, Teilbarkeitslehre, einfache algebraische Körpererweiterungen; Lit.: Skript, Kap. 2.4)
• Endliche Körper (Kreisteilungspolynome, Konstruktion der endlichen Körper, Charakterisierung)
• Der Polynomring in mehreren Variablen (Konstruktion und Universaleigenschaft; Lit.: Skript, Kap. 1.2)
• Primärzerlegung (Lit.: 3., Kap. 4)
• Gaußscher Algorithmus  (S-Polynome, reduzierte Form eines linearen Gleichungssystems, Rang einer Matrix und Zahl der reduzierten Gleichungen; Lit.: Skript, Kap. 2.1, 2.2)
• Monomiale Ideale und Dickson's Lemma, Monomordnungen (Rechnen mit Idealen, Beweis des Dickson'schen Lemmas, Eigenschaften von Termordnungen; Beispiele)
• Division mit Rest für Polynome mehrerer Variabler (Herleitung der Divisionsformel, Leitideale, Beispiele und Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit der Division)
• Gröbnerbasen (Existenz, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele)
• Buchberger's Algorithmus (Beweis, Beispiele)

1. Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition, Springer 1997
2. Eisenbud, D.: Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer GTM 150 (1994)
3. Atiyah, M. F., Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley (1969)
4. Roczen, M., Wolter, H. Lineare Algebra - individuell (Skript)