M. Roczen

Proseminar: Lösung polynomialer Gleichungssysteme     (Sommersemester 2006)


2 SWS PS pro Woche, Do 15.00 (!) - 16.30 Uhr, RUD 25, 3.006
(einzelne Veranstaltungen im Computerpool, nach Ankündigung)

Inhalt:
In gut verständlicher Form wird an die Löung polynomialer Gleichungen mit Mitteln der Computeralgebra herangeführt: Faktorzerlegung im Polynomring und Gröbnerbasen sowie der Buchberger-Algorithmus gehören zu den zentralen Themen des Proseminars.

Voraussetzungen:
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesungen Lineare Algebra I, II ; die Veranstaltung kann prinzipiell auch parallel zur Vorlesung "Lineare Algebra II" besucht werden (ist dann allerdings für die betr. Teilnehmer recht aufwändig)

Literatur:
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, D.: Using algebraic geometry
[2] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell (Online-Fassung), Bd. 1  
[3] Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition, Springer 1997
[4] Roczen, M., Gröbner Bases and Resultants,  Manuscript of a talk in the School on Commutative Algebra and Combinatorics, University of Constantza, September 15-21, 1999 (Kopie auf Homepage)

Fragen, Anregungen, Kritik:
Ihre Meinung ist uns wichtig, gern können Sie sich auch anonym äußern. Besuchen Sie die dafür eingerichtete Problemseite.

Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff.

VORTRAGSTHEMEN

Die Themen sind für jeweils 1 - 2 Vortragende bestimmt; sie werden nach Absprache entsprechend aufgeteilt bzw. präzisiert. Einzelne Veranstaltungen finden im Computerpool statt - bitte beachten Sie auch die entsprechenden Ankündigungen auf dieser Web-Seite. Die Literaturhinweise dienen dem Einstieg in die Thematik und sind nicht als ausschließliche Quellen zu verstehen. Eine Einführung zum verwendeten Computeralgebrasystem SINGULAR finden Sie in [2], Abschnitt 2/6.
Zu den Vorträgen werden ausführliche Erläuterungen und Beispiele erwartet. Sie sollten auch überlegen, in welchen Fällen Aufgaben zweckmäßig mit dem Computer gelöst werden können.
Ihr Manuskript oder wenigstens eine ausführliche Gliederung sollten Sie mir so rechtzeitig vorlegen (gern per Email), dass noch Änderungen möglich sind.
  • Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre (Literatur u.a. [2], 1/2/19 - 1/2/28)
    [Vortr.: K. Gülzow]
  • Der Polynomring in mehreren Variablen: Konstruktion und Universaleigenschaft (Literatur u.a. [2], 1/2/9 - 1/2/18)
    [Vortr.: M. Fiedler]
  • Gauß'scher Algorithmus : S-Polynome, reduzierte Form eines linearen Gleichungssystems, Rang einer Matrix und Zahl der reduzierten Gleichungen (Literatur u.a. [2], 2/1/3 - 3/3/5)
    [Vortr.: Chr. Kaptur]
  • Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X]: Euklidischer Algorithmus, irreduzible Polynome und Faktorzerlegung, einfache algebraische Körpererweiterungen (Literatur u.a. [2], 2/4/1 - 2/4/21)
    [Vortr.: J. Taeschner]
  • Monomiale Ideale und Dickson's Lemma, Monomordnungen: Rechnen mit Idealen, Beweis des Dickson'schen Lemmas, Eigenschaften von Termordnungen; Beispiele (Literatur u.a. [2], 2/5/1 - 2/5/10 )
    [Vortr.: N. Perkowski]
  • Division mit Rest für Polynome mehrerer Variabler: Herleitung der Divisionsformel, Leitideale, Beispiele und Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit der Division (Literatur u.a. [2], 2/5/11 - 2/5/16)
    [Vortr.: A. Bendix]
  • Gröbnerbasen: Existenz, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele (Literatur u.a. [2], 2/5/17 - 2/5/23)
    [Vortr.: B. Kleinwächter, St. Müller]
  • Der Satz von Buchberger und Buchberger's Algorithmus (Beweis, Beispiele) (Literatur u.a. [2], Kap. 2/5/23 - 2/5/31)
    [Vortr.: A. Steenpaß]
  • Gröbnerbasen und Resultanten (Literatur u.a. [4])
  • Eliminationstheorie (Literatur u.a. [2], 2/5/32 - 2/5/36, [3])
    [Vortr.: B. Kleinwächter, St. Müller]