M. RoczenVorlesung: Kommutative Algebra (Sommersemester 2006) |
4 SWS VL pro Woche: Mo 9.15 Uhr, RUD 25, 3.011; Fr 9.15 Uhr, RUD 25, 1.013
2 SWS UE pro Woche: Mo 11.00 Uhr, RUD 25, 3.011
Inhalt:
Studium noetherscher kommutativer Ringe und Moduln unter Anwendung homologischer Methoden;
Computeralgebra dient dabei der Untersuchung von (Klassen von) Beispielen. Die Vorlesung
setzt sich das Ziel, ein solides Fundament für selbständige Anwendung der Begriffe
und Resultate dieser Querschnittsdisziplin der theoretischen Mathematik zu schaffen.
Einzelne Aufgaben erfordern die Verwendung eines Computeralgebrasystems
(hier vorzugsweise Singular); erforderliche Vorkenntnisse
werden in der Übung erarbeitet. Als Vorinformation eignet sich die kurze Einführung in [3] Bd. 1, Abschnitt
"3.6 Symbolisches Rechnen"
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesungen "Lineare Algebra I, II" sowie "Algebra I"; die Veranstaltung kann prinzipiell auch unabhängig von der Vorlesung Algebra II besucht werden (für ambitionierte Hörer).
Literatur:
[1] Greuel, G.M.; Pfister, G.: A singular introduction to commutative algebra
[2] Eisenbud, D.
Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
[3] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell (u.a. zur Bereitstellung von Vorkenntnissen aus
Bd. 1, Kap. 3 und Bd. 2, Kap. 4)
Fragen, Anregungen, Kritik:
Ihre Meinung ist uns wichtig, gern können Sie sich auch anonym
äußern. Besuchen Sie die
dafür eingerichtete
Problemseite.
Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu den Übungsaufgaben.
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Die Abgabe erfolgt jeweils zur Übung am Montag. Bitte vermerken Sie deutlich lesbar Ihren Namen,
die Aufgabenserie und Nr. (z.B. 1.3 für Aufgabe 3 der Serie 1).
Es werden generell Begründungen, Beweise bzw. ausführliche Rechnungen erwartet. Kleine Studiengruppen (maximal 3 Teilnehmer) dürfen ihre Lösungsblätter gemeinsam abgeben, bitte vermerken Sie alle Namen. Korrigierte, nicht abgeholte Serien können Sie während der Sprechzeiten im Sekretariat (Frau Dobers, RUD 26, Raum 1.402) erhalten. |
Anmerkung: Der Abgabetermin der Aufgaben 1.3 und 3.4 ist auf den 29.5. verlängert.
| Serie 1 zum 8.5.06 | Serie 2 zum 15.5.06 | Serie 3 zum 22.5.06 | Serie 4 zum 29.5.06 |
| Serie 5 zum 2.6.06 | Serie 6 zum 12.6.06 | Serie 7 zum 19.6.06 | Serie 8 zum 26.6.06 |
| Serie 9 zum 3.7.06 | Serie 10 zum 10.7.06 | Letztes Blatt: Information zu Prüfungsschwerpunkten | |
21.4.2006: Einführung, Motivation: Lösung linearer Gleichungssysteme mit Koeffizienten aus einem Polynomring, exakte Folgen, Hilberts Syzygiensatz (zunächst ohne Beweis); Zusammenstellung einiger Grundlagen über Ringe und Moduln
Die Übung am kommenden Montag soll (wenigstens teilweise) noch zur Wiederholung erforderlicher Grundlagen dienen.
24.4.2006: Kategorie der Moduln über einem Ring; Quotientenfunktoren (die Übung wurde ausnahmsweise dazu verwendet, einige Voraussetzungen zusammenzustellen: freie Moduln, Basis eines freien Moduls, Rang und Eindeutigkeit)
28.4.2006: Zusammenstellung einiger Homomorphie-Eigenschaften für die Kategorie der R-Moduln, Komplexe von Moduln, links- bzw. rechtsexakte Funktoren, Einführung in die Untersuchung von Exaktheitseigenschaften des Hom-Bifunktors
5.5.2006: projektive Moduln (Charakterisierung und erste Eigenschaften), projektive Auflösungen; injektive Moduln; Tensorprodukt
8.10.2006: Konstruktion und funktorielle Eigenschaften des Tensorprodukts, erste Rechenregeln, flache Moduln
12.5.2006: Charakterisierung der Flachheit, erste Eigenschaften, Beispiele (projektive Moduln, Quotientenring)
15.5.2006: treuflache Moduln: Charakterisierung, Beispiele; Moduln über lokalen Ringen: projektive Moduln v.e.T. sind frei
19.5.2006 einige Eigenschaften von Tensorprodukt und Lokalisierung, Lokalisierung von Homomorphismen eines Moduls endlicher Darstellung in einen anderen; projektive Moduln und Lokalisierung; Moduln über einem lokalen Ring: minimale Erzeugendensysteme
22.5.2006 projektive Moduln vom Rang 1, Picardgruppe und Picardfunktor; Untersuchung injektiver Moduln: Satz von Baer
26.5.2006 Einbettung eines beliebigen Moduls in einen injektiven, injektive Auflösungen; Existenz maximaler wesentlicher Erweiterungen
29.5.2006 wesentliche injektive Erweiterungen, Existenz und Eindeutigkeit der injektiven Hülle, Beispiele (injektive Hüllen der abelschen Gruppen Z und Z/(p)); direkte Produkte und direkte Summen injektiver Moduln; Ausblick
2.6.2006 die abgeleiteten Funktoren Ext und Tor, projektive und injektive Dimension eines Moduls, kohomologische Dimension von Ringen, Charakterisierung injektiver und projektiver Moduln
9.6.2006 projektive (injektive) Auflösungen und projektive (injektive) Dimension, Charakterisierung der kohomlogischen Dimension eines Ringes; der Fall lokaler noetherscher Ringe: Tor(k,M) und projektive Dimension von M
12.6.2006 kohomologische Dimension eines lokalen Ringes und projektive Dimension des Restklassenkörpers, reguläre Elemente bzw. Folgen für einen Modul, Änderung der projektiven Dimension bei Faktorisierung nach einem regulären Element, die globale homologische Dimension eines regulären lokalen Ringes stimmt mit seiner Dimension überein
16.6.2006 Präsentationen, Auflösungen und abgeleitete Funktoren: Beschreibung von Hom(M,N) durch Matrizenoperationen auf freien Moduln (für Moduln M, N von endlicher Darstellung); die Kategorie der Kettenkomplexe, Homologiemoduln
19.6.2006 Homotopie von Morphismen von Komplexen, Existenz und Eindeutigkeit der Satellitenfunktoren
23.6.2006 exakte Folgen von Kettenkomplexen, Konstruktion der langen exakten Homologiesequenz
überdies Hinweise zur neuen Aufgabenserie - Rechnen mit Singular (auf allen Rechnern im Computerpool des Instituts installiert, in einer Shell mit "Singular" aufrufen (hier genügt z.B. [3], 2/6/2).
26.6.2006 Anwendung: die Tor- und Ext Bifunktoren;
globale, lokale und gemischte Monomordnungen für Polynomringe endlich vieler Unbestimmter über einem Körper (z.T. Wiederholung aus der Algebra II); Charakterisierung der globalen Monomordnungen als Wohlordnungen, Lokalisierung bezüglich einer Monomordnung, Einbettung der Lokalisierung in den formalen Potenzreihenring
30.6.2006 [Hinweis zu den Aufgaben: In 9.4 sind die Indizes bei allen M' und M'' zu streichen.]
einige lokale und gemischte Monomordnungen; Leitterme (usw.) für formale Potenzreihen aus Lokalisierungen von K[X]; Standardbasen, Normalformen
3.7.2006 schwache Normalformen, erste Folgerungen aus der Existenz einer schwachen Normalform (Eigenschaften von Standardbasen), der Algorithmus von Mora-Greuel-Pfister, Beispiele
7.7.2006 Homogenisierung einer Monomordnung, Verhalten des Ecart; Satz: Der Algorithmus MGP terminiert und ergibt eine schwache Normalform.
10.7.2006 Modulordnungen zu einer gegebenen Monomordung, Leitmonome, Teilbarkeit (...); monomiale Untermoduln, Leitmoduln, (schwache) Normalformen, Standardbasen für Untermoduln freier Moduln von endlichem Rang
14.7.2006 Syzygien: der Satz von Buchberger und Bestimmung einer Standardbasis des Syzygienmoduls bezüglich der Schreyer-Ordnung
17.7.2006 und 21.7.06 Abschluss des Abschnitts zu Syzygien; rechnerische Bestimmung von Tensorprodukten für Moduln von endlicher Präsentation; Ausblick