Berufsbezogenes Fachseminar: Algebraische Gleichungen (Wintersemester 2009-2010)
Veranstaltungs-Nr. 32 475
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2 SWS, Mi 9 - 11 Uhr, RUD 25, 3.006
(einzelne Veranstaltungen - nach Vorankündigung - im Computerpool RUD 25, 2.212)
Inhalt:
Die Suche nach Lösungen polynomialer Gleichungssysteme ist eine
Aufgabe, der sich Mathematiker, Techniker,
Naturwissenschaftler immer wieder stellen müssen. Ohne Kenntnisse über
Algorithmen zu ihrer Bestimmung ist das kaum möglich.
Klassische Verfahren der linearen Algebra (Gaußscher Algorithmus) und der
Algebra (Euklidischer Algorithmus) sind Spezialfälle
einer allgemeinen Methode, die heute in nahezu allen
Computeralgebrasystemen implementiert ist. Die Vorträge in diesem
Fachseminar werden in gut verständlicher Form einige der Aspekte darstellen bzw.
an selbst programmierten Beispielen erläutern.
Voraussetzungen:
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesung "Lineare Algebra I".
Literatur:
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd.
Edition
[2] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell, Bd. 1
(in wesentlich erweiterter Fassung auch als
Online Material verfügbar)
VORTRAGSTHEMEN
Die Themen sind für jeweils 1 - 2 Vorträge bestimmt; sie werden nach Absprache entsprechend
aufgeteilt bzw. präzisiert. Ein Vortrag dauert in der Regel 90 Minuten; die schriftliche Ausarbeitung ist abzugeben.
Einzelne Veranstaltungen finden im Computerpool statt - bitte beachten
Sie auch die entsprechenden Ankündigungen auf dieser Web-Seite.
Die Vortragenden können selbst vorschlagen, ob sie die Rechentechnik
im Rahmen ihres Vortrags nutzen wollen.
Die Literaturhinweise
dienen dem Einstieg in die Thematik und sind nicht als ausschließliche Quellen zu verstehen.
Eine Einführung zum verwendeten Computeralgebrasystem
SINGULAR
finden Sie in [2], Abschnitt 2/6.
Zu den Vorträgen werden ausführliche Erläuterungen und Beispiele erwartet.
Sie sollten auch überlegen, in welchen Fällen Aufgaben zweckmäßig mit
dem Computer gelöst werden können.
Ihr Manuskript oder wenigstens
eine ausführliche Gliederung sollten Sie so rechtzeitig vorlegen (gern per Email), dass
noch Änderungen / Korrekturen möglich sind. Sie müssen sonst zu einem späteren Zeitpunkt im Seminar
entsprechende Inhalte ergänzend vortragen.
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Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre [ab 21.10.09, Jennifer Schmeil, Stefanie Jahnke]
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Der Polynomring in mehreren Variablen: Konstruktion und Universaleigenschaft
[Bettina Delert]
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Gauß'scher Algorithmus : S-Polynome, reduzierte Form eines linearen
Gleichungssystems, Rang einer Matrix und Zahl der reduzierten Gleichungen
[Johanna Nixdorf]
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Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X]: Euklidischer Algorithmus, irreduzible
Polynome und Faktorzerlegung, einfache algebraische Körpererweiterungen
[Niko Dokic]
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Grundlagen der Idealtheorie in kommutativen Ringen
[Aline Rumöller]
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Moduln und Homomorphismen von Moduln
[Patrizia Sonntag, Hannes Baumgart]
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Tensorprodukte
[Hannes Baumgart, Patrizia Sonntag]
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Quotientenringe und Quotientenmoduln (einschl. Konstruktion der rationalen Zahlen)
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*Primärzerlegung - eine Verallgemeinerung der Primfaktorzerlegung
[Sandra Stiebenz]
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Monomiale Ideale und Dickson's Lemma [Timo Hambach]
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Division mit Rest für Polynome mehrerer Variabler: Herleitung der
Divisionsformel, Leitideale, Beispiele und Gegenbeispiele zur Eindeutigkeit
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Gröbnerbasen: Existenz, Beweis des Hilbertschen Basissatzes, Beispiele
[Christine Jeozen]
- Satz von Buchberger und
Buchberger's Algorithmus (Beweis, Beispiele)
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