M. Roczen

Vorlesung: Kommutative Algebra mit Methoden der Computeralgebra     (Sommersemester 2010)

Veranstaltungs-Nr. 32429


Vorlesung:   Mo, 9.30 - 11.00, RUD 25, 3.008 und Mi, 9.30 - 11.00, RUD 25, 3.006
Übung: Mo, 11.00 - 12.30, RUD 25, 3.008 (einzelne Übungen - nach Vorankündigung - im Computerpool RUD 25, 2.212)

Inhalt
Kommuntative Algebra beinhaltet die Untersuchung kommutativer Ringe, ihrer Ideale und allgemein der Moduln über kommutativen Ringen; sie gehört zu den Querschnittsdisziplinen der theoretischen Mathematik. Algebraische Geometrie, Zahlentheorie, höherdimensionale Funktionentheorie sind ebenso wie die abstrakte Algebra ihre Nutznießer, haben aber umgekehrt auch wesentliche Impulse in ihre Entwicklung eingebracht. Diese Vorlesung setzt sich das Ziel, ein solides Fundament für Anwendung und künftige selbstständige Arbeit mit den Begriffen und Resultaten des Fachs zu schaffen.
Behandelt werden zunächst Gröbnerbasen / Standardbasen für Polynomringe bzw. ihre Lokalisierungen in Monomordnungen; Standardbasen führen algorithmisch zu verschiedenen Struktursätzen, so auf Resultate zur Lösung polynomialer Gleichungssysteme. Für Moduln über einer Klasse von Ringen formaler Potenzreihen werden die hier eingeführten theoretischen Begriffe wie Primärzerlegung, Homologie (Ext- und Tor-Funktoren), Koszul-Komplexe, die Cohen-Macaulay-Eigenschaft anwendungsbereit so dargestellt, dass eine Reihe von Invarianten mit einem Computeralgebra-System bestimmt werden können. In der Übung wird dafür das System Singular verwendet. Wer noch nicht damit gearbeitet hat, findet eine Einführung in meinem Online Material, Kap. 2.6.

Voraussetzungen
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Grundvorlesungen zur linearen Algebra sowie zur Algebra I. Kenntnisse aus der Algebra II sind vorteilhaft, aber nicht obligatorisch.

Literatur
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, J.: Ideals, Varieties and Algorithms, 2nd. Edition
[2] Eisenbud, D. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry
[3] Greuel, G.M.; Pfister, G.: A singular introduction to commutative algebra

Nutzung von "Singular"
Sie können das Computeralgebrasystem frei herunterladen (obiger Link) und auf Ihrem Rechner installieren. Alternativ dazu können Sie im Rechnerpool des Instituts die neuste Version nutzen. Geben Sie in einer Shell den Befehl Singular ein und lassen Sie sich mit help; (Semikolon nicht vergessen) eine Einführung geben (wie Sie z.B. einen - für fast alle Rechnungen notwendigen - Grundring definieren, erfahren Sie mit help ring;). Da die Übungen teilweise im Rechner-Pool stattfinden, brauchen Sie dort einen Account, den Sie - falls nicht schon vorhanden - auch Online beantragen können.

Übungsaufgaben
Die Abgabe erfolgt jeweils zur Vorlesung am Montag. Bitte vermerken Sie Ihren Namen, die Aufgabenserie und Nr. auf dem jeweiligen Lösungsblatt.

Stoff der Vorlesung
Die nachfolgenden Informationen zum Inhalt werden in der Regel kurz nach der betr. Veranstaltung aktualisiert, sie eignen sich auch als Schwerpunkte zur Prüfungsvorbereitung.

12.4.2010:   Vorbesprechung und Einführung; wir nehmen uns Zeit für eine kurze Abstimmung, welche Vorkenntnisse bereitgestellt oder ausführlich zitiert werden sollen. Begriff des polynomialen Gleichungssystems; Nullstellenmenge eines Ideals
14.4.2010:   monomiale Ideale, Dicksons Lemma, Charakterisierung von Monomordnungen, Matrixordnungen
19.4.2010:   Division mit Rest, S-Polynome, Leitideal eines Ideals bez. einer Monomordnung, Existenz von Gröbnerbasen
21.4.2010:   Church-Rosser Eigenschaft, Syzygien einer Gröbnerbasis und Syzygien ihrer Leiterme, Charakterisierung von Gröbnerbasen
26.4.2010:   Buchberger-Kriterium und Buchberger-Algorithmus, reduzierte Gröbnerbasen
28.4.2010:   Gröbnerbasen von Eliminationsidealen, Hilbertscher Nullstellensatz, Gröbnerbasen - Kriterium für die Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme
3.5.2010:   Folgerungen aus dem Nullstellensatz, Charakterisierung von Gleichungssystemen mit endlich vielen Lösungen und eine Schranke für die Anzahl der Lösungen; allgemeine Monomordnungen
5.5.2010:   Lokalisierung in einer (allgemeinen) Monomordnung und Interpretation als Unterring der formalen Potenzreihen, Standardbasen (Begriff, Existenz), schwache (polynomiale) Normalformen; der Algorithmus von Mora-Greuel-Pfister
10.5.2010:   erste Beispiele zum Algorithmus und Beweis, dass er terminiert sowie eine polynomiale schwache Normalform ausgibt
12.5.2010:   Buchberger-Kriterium und Algorithmus zur Bestimmung einer Standardbasis, endliche Bestimmtheit von Standardbasen; Modulordnungen
17.5.2010:   dies academicus, Übungsaufgaben werden aber gestellt, Konsultationsmöglichkeit (Raum I.425)
19.5.2010:   Normalformen und Standardbasen für Untermoduln freier Moduln von endlichem Rang, Berechnung von Syzygien
26.5.2010:   minimale Primärzerlegung eines Ideals, Eindeutigkeit der assoziierten Primideale, isolierte Primärkomponenten
31.5.2010:   "prime avoidance", Primärideale und Lokalisierung, Eindeutigkeit der isolierten Primärkomponenten; Existenz von Primärzerlegungen in noetherschen Ringen, Beschreibung der assoziierten Primideale als Quotienten
2.6.2010:   Primärzerlegung im Polynomring (0-dimensionaler Fall): Algorithmus von Gianni-Treger-Zacharias; Moduln und Funktoren: Zusammenstellung einiger Grundlagen (Kategorien werden hier nicht systematisch behandelt, benötigte Begriffe erläutern wir kurz; zum Nachschlagen von Bezeichnungen ist das Skript geeignet: Teil 1, Teil 2, Teil 3)
7.6.2010:   Kategorien und Funktoren, initiale und terminale Objekte, exakte Funktoren, Exaktheitseigenschaften von Hom
9.6.2010:   projektive Moduln: Charakterisierung und Eigenschaften; Tensorprodukt: adjungierte Assoziativität und erste Eigenschaften flacher Moduln
14.6.2010:   Charakterisierung treuflacher Moduln
16.6.2010:   projektive Moduln - Beschreibung durch lokale Eigenschaften; Picardgruppe und Picardfunktor
21.6.2010:   injektive Moduln: Injektivitätstest (Satz von Baer), injektive Gruppen, Existenz genügend vieler injektiver Moduln, maximale wesentliche Erweiterungen eines Untermoduls
23.6.2010:   Existenz und Eindeutigkeit wesentlicher injektiver Erweiterungen (injektive Hülle), Beispiele: injektive Hüllen abelscher Gruppen
28.6.2010:   Ext- und Tor-Funktoren (formale Definition), kohomologische Charakterisierung injektiver, bzw. projektiver Moduln; Vergleichstrick
30.6.2010:   Interpretation der höheren Ext-Moduln, Charakterisierung der kohomologischen Dimension; kohomologische Dimension und Lokalisierung
5.7.2010:   kohomologische Dimension und projektive Dimension des Restklassenkörpers eines lokalen Ringes, die kohomologische Dimension eines regulären lokalen Ringes stimmt mit seiner Dimension überein, Korollar: ein Syzygiensatz
7.7.2010:   Kategorie der Kettenkomplexe über dem Grundring, Satelliten eines (rechtsexakten kovarianten oder linksexakten kontravarianten) Funktors, Eindeutigkeit der Satelliten
12.7.2010:   Homotopie-Eindeutigkeit der Liftung von Modulhomomorphismen auf projektive Auflösungen, exakte Folgen von Komplexen, Existenz der Satellitenfunktoren
14.7.2010:   Ext-Funktoren und kurze exakte Sequenzen