Inhalt Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Grundvorlesungen zur linearen Algebra sowie zur Algebra I. Kenntnisse aus der Algebra II sind vorteilhaft, aber nicht obligatorisch.
Literatur
Sie können das Computeralgebrasystem frei herunterladen (obiger Link) und auf Ihrem Rechner installieren. Alternativ dazu können Sie im Rechnerpool des Instituts die neuste Version nutzen. Geben Sie in einer Shell den Befehl Singular ein und lassen Sie sich mit help; (Semikolon nicht vergessen) eine Einführung geben (wie Sie z.B. einen - für fast alle Rechnungen notwendigen - Grundring definieren, erfahren Sie mit help ring;). Da die Übungen teilweise im Rechner-Pool stattfinden, brauchen Sie dort einen Account, den Sie - falls nicht schon vorhanden - auch Online beantragen können. Übungsaufgaben Die Abgabe erfolgt jeweils zur Vorlesung am Montag. Bitte vermerken Sie Ihren Namen, die Aufgabenserie und Nr. auf dem jeweiligen Lösungsblatt. Stoff der Vorlesung Die nachfolgenden Informationen zum Inhalt werden in der Regel kurz nach der betr. Veranstaltung aktualisiert, sie eignen sich auch als Schwerpunkte zur Prüfungsvorbereitung. 12.4.2010: Vorbesprechung und Einführung; wir nehmen uns Zeit für eine kurze Abstimmung, welche Vorkenntnisse bereitgestellt oder ausführlich zitiert werden sollen. Begriff des polynomialen Gleichungssystems; Nullstellenmenge eines Ideals 14.4.2010: monomiale Ideale, Dicksons Lemma, Charakterisierung von Monomordnungen, Matrixordnungen 19.4.2010: Division mit Rest, S-Polynome, Leitideal eines Ideals bez. einer Monomordnung, Existenz von Gröbnerbasen 21.4.2010: Church-Rosser Eigenschaft, Syzygien einer Gröbnerbasis und Syzygien ihrer Leiterme, Charakterisierung von Gröbnerbasen 26.4.2010: Buchberger-Kriterium und Buchberger-Algorithmus, reduzierte Gröbnerbasen 28.4.2010: Gröbnerbasen von Eliminationsidealen, Hilbertscher Nullstellensatz, Gröbnerbasen - Kriterium für die Lösbarkeit algebraischer Gleichungssysteme 3.5.2010: Folgerungen aus dem Nullstellensatz, Charakterisierung von Gleichungssystemen mit endlich vielen Lösungen und eine Schranke für die Anzahl der Lösungen; allgemeine Monomordnungen 5.5.2010: Lokalisierung in einer (allgemeinen) Monomordnung und Interpretation als Unterring der formalen Potenzreihen, Standardbasen (Begriff, Existenz), schwache (polynomiale) Normalformen; der Algorithmus von Mora-Greuel-Pfister 10.5.2010: erste Beispiele zum Algorithmus und Beweis, dass er terminiert sowie eine polynomiale schwache Normalform ausgibt 12.5.2010: Buchberger-Kriterium und Algorithmus zur Bestimmung einer Standardbasis, endliche Bestimmtheit von Standardbasen; Modulordnungen 17.5.2010: dies academicus, Übungsaufgaben werden aber gestellt, Konsultationsmöglichkeit (Raum I.425) 19.5.2010: Normalformen und Standardbasen für Untermoduln freier Moduln von endlichem Rang, Berechnung von Syzygien 26.5.2010: minimale Primärzerlegung eines Ideals, Eindeutigkeit der assoziierten Primideale, isolierte Primärkomponenten 31.5.2010: "prime avoidance", Primärideale und Lokalisierung, Eindeutigkeit der isolierten Primärkomponenten; Existenz von Primärzerlegungen in noetherschen Ringen, Beschreibung der assoziierten Primideale als Quotienten 2.6.2010: Primärzerlegung im Polynomring (0-dimensionaler Fall): Algorithmus von Gianni-Treger-Zacharias; Moduln und Funktoren: Zusammenstellung einiger Grundlagen (Kategorien werden hier nicht systematisch behandelt, benötigte Begriffe erläutern wir kurz; zum Nachschlagen von Bezeichnungen ist das Skript geeignet: Teil 1, Teil 2, Teil 3) 7.6.2010: Kategorien und Funktoren, initiale und terminale Objekte, exakte Funktoren, Exaktheitseigenschaften von Hom 9.6.2010: projektive Moduln: Charakterisierung und Eigenschaften; Tensorprodukt: adjungierte Assoziativität und erste Eigenschaften flacher Moduln 14.6.2010: Charakterisierung treuflacher Moduln 16.6.2010: projektive Moduln - Beschreibung durch lokale Eigenschaften; Picardgruppe und Picardfunktor 21.6.2010: injektive Moduln: Injektivitätstest (Satz von Baer), injektive Gruppen, Existenz genügend vieler injektiver Moduln, maximale wesentliche Erweiterungen eines Untermoduls 23.6.2010: Existenz und Eindeutigkeit wesentlicher injektiver Erweiterungen (injektive Hülle), Beispiele: injektive Hüllen abelscher Gruppen 28.6.2010: Ext- und Tor-Funktoren (formale Definition), kohomologische Charakterisierung injektiver, bzw. projektiver Moduln; Vergleichstrick 30.6.2010: Interpretation der höheren Ext-Moduln, Charakterisierung der kohomologischen Dimension; kohomologische Dimension und Lokalisierung 5.7.2010: kohomologische Dimension und projektive Dimension des Restklassenkörpers eines lokalen Ringes, die kohomologische Dimension eines regulären lokalen Ringes stimmt mit seiner Dimension überein, Korollar: ein Syzygiensatz 7.7.2010: Kategorie der Kettenkomplexe über dem Grundring, Satelliten eines (rechtsexakten kovarianten oder linksexakten kontravarianten) Funktors, Eindeutigkeit der Satelliten 12.7.2010: Homotopie-Eindeutigkeit der Liftung von Modulhomomorphismen auf projektive Auflösungen, exakte Folgen von Komplexen, Existenz der Satellitenfunktoren 14.7.2010: Ext-Funktoren und kurze exakte Sequenzen |