20.10.2010:
Was ist lineare Algebra? (Einführung); Begriff der Menge, erste Mengenoperationen: Durchschnitt, Vereinigung, ...
25.10.2010:
natürliche Zahlen, Aussagenlogik (Wahrheitswerte, Aussagenverbindungen), Existenz- und Allquantor
27.10.2010:
Ausblick auf die ZF-Axiomatik; Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen, Klasseneinteilungen, Faktormenge nach einer Äquivalenzrelation, Abbildungen
1.11.2010:
bijektive Beziehung zwischen Klasseneinteilungen und Äquivalenzrelationen einer Menge, (vollständige) Invarianten; gleichmächtige Mengen; Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
1.11.2010:
cantorscher Potenzmengensatz, kartesisches Produkt einer Mengenfamilie, Auswahlaxiom; zornsches Lemma, Anwendung: Vergleich der Mächtigkeiten zweier Mengen
8.11.2010:
AxA ist gleichmächtig zu A für unendliche Mengen A, Kardinalzahl einer Menge, einige Rechenregeln für Kardinalzahlen; Algebraische Strukturen: Operation, Monoid
10.11.2010:
Gruppen: Definition, erste Eigenschaften, Beispiele, Untergruppen, Untergruppenkriterium, zyklische Untergruppen, Homomorphismen und Isomorphismen
15.11.2010:
von einer Teilmenge erzeugte Untergruppe, Untergruppen von (Z,+), Permutationen: kanonische Zerlegung in ein Produkt disjunkter Zyklen, Zerlegung in Produkte von Transpositionen, Inversionen und Signum einer Permutation
17.11.2010:
das Signum als Gruppenhomomorphismus, Normalteiler, Faktorgruppen
22.11.2010:
Homomorphiesatz für Gruppen, die alternierende Gruppe A_n, Klassifikation der zyklischen Gruppen; Ringe, Integritätsbereiche, Körper, der Polynomring über einem kommutativen Ring
25.11.2010:
Algebren, Universaleigenschaft der Polynomalgebra; die endlichen Primkörper F_p (p Primzahl), Charakteristik eines Körpers; Matrizen: erste Operationen
29.11.2010:
weitere Matrizeneigenschaften; Polynome in mehreren Unbestimmten, Einsetzungshomomorphismus, Nullstellenmenge eines polynomialen Gleichungssystem, lineare Gleichungssysteme, Äquivalenz linearer Gleichungssysteme; Systeme in Stufengestalt
1.12.2010:
elementare Umformungen linearer Gleichungssysteme, Systeme in Stufenform, Gaußscher Algorithmus, Matrizenschreibweise und zeilenäquivalente Umformungen einer Matrix; reduzierte Form
6.12.2010:
Eindeutigkeit der reduzierten Form eines Systems, Normalformen von Matrizen bezüglich der Zeilenäquivalenz, Rang einer Matrix
8.12.2010:
Klausur
13.12.2010:
Charakterisierung invertierbarer Matrizen, die allgemeine lineare Gruppe GL(n;K) (Erzeugung durch Elementarmatrizen), Hauptsatz der Matrizenrechnung 13.12.2010:
Vektorräume: Definition und elementare Eigenschaften, direktes Produkt, lineare Abbildungen (Isomorphismen, Endomorphismen, Automorphismen), "Invarianz der Dimension" 3.1.2011:
Isomorphismen von Standardräumen und invertierbare Matrizen, Unterräume, Unterraumkriterium; Unterraumeigenschaft von Bild, bzw. Kern einer linearen Abbildung; Linearkombinationen, lineare Hülle (einfache Eigenschaften), Summen von Unterräumen, ein Beispiel: fehlerkorrigierende Codes
5.1.2011:
direkte Summen, Existenz von Komplementärräumen, Projektionen, lineare Fortsetzung
10.1.2011:
äußere direkte Summe; Faktorraum und kanonischer Homomorphismus, Homomorphiesatz, 1. und 2. Isomorphiesatz, exakte Folge eines Homomorphismus
12.1.2011:
ein Struktursatz für lineare Abbildungen, lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit, Koeffizientenvergleich, Basen
17.1.2011:
direkte Zerlegung zu einer Basis, Basen direkter Summen, Basen und lineare Fortsetzung, Koordinatensysteme, Isomorphismen zu Standardräumen, Charakterisierung von Basen, Existenz von Basen
19.1.2011:
Basen für direkte Summen, Hauptsatz: Klassifikation der Vektorräume, Dimension, Beispiele: Dimensionen einiger oft verwendeter Vektorräume, einige exotische Eigenschaften unendlichdimensionaler Vektorräume
24.1.2011:
Basen endlichdimensionaler Vektorräume, Dimensionsformeln, Basisauswahl, Basisergänzung, Austauschsatz, Matrix eines Homomorphismus bezüglich eines Basenpaares
26.1.2011:
Koordinatentransformation und Übergangsmatrizen, Funktorialität der zugeordneten Matrix, durch ein Basenpaar gegebene Isomorphie zwischen Hom(V,W) und M(dim (W),dim(V)), Variation der Basen, Normalform linearer Abbildungen aus Hom(V,W); Dualer Vektorraum: Begriff
31.1.2011:
kanonische Paarung, Annullator, Satz: Ann(Ann(U)) = U für jeden Unterraum U, Bestimmung eines Gleichungssystems für einen Unterraum (gegeben durch Erzeugende); duale Basis (Rechenverfahren)
2.2.2011:
duale Abbildung (Kofunktorialität, Matrixdarstellung), der kanonische Homomorphismus eines Vektorraums in seinen bidualen und Identifikation von V mit dem Bidual im Falle endlicher Dimension
7.2.2011:
Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre (assoziierte Elemente, Einheiten, ggT, irreduzible Elemente); Teilbarkeit im Polynomring einer Unbestimmten über einem Körper: Division mit Rest, größter gemeinsamer Teiler, Nullstellen und Linearfaktoren, Identitätssatz für Polynome
9.2.2011:
Irreduzibilität für Polynome von kleinem Grad, Faktorzerlegung über den komplexen und den reellen Zahlen, Lemma von Euklid, Existenz einer eindeutigen Zerlegung in irreduzible Faktoren; Satz von Kronecker und Existenz von Zerfällungskörpern
14.2.2011:
formale Ableitung eines Polynoms und rechnerische Überprüfung der Existenz mehrfacher Nullstellen in einem Zerfällungskörper; Determinantenfunktionen: Motivation und Untersuchung im Spezialfall
16.2.2011:
Wiederholung, Klausurvorbereitung