Problemstellung :

Der bisherige Fortschritt in der Mikroelektronik wurde erst durch die intensive Nutzung rechnergestützter Techniken zur numerischen Simulation der Schaltungen ermöglicht. Gängige Simulationspakete des Industriepartners Infineon Technologies benutzen zur Modellierung dieser Schaltkreise die ladungsorientierte modifizierte Knotenanalyse und übernehmen die numerische Simulation des im allgemeinen sehr grossen Systems speziell strukturierter Algebro-Differentialgleichungen. Aufgrund der rasanten Entwicklung in der Telekommunikation ist dieser Anwendungsbereich für Infineon Technologies von strategischer Bedeutung. Auch in den kommenden Jahren ist zu erwarten, dass sich der technologische Fortschritt ungebremst fortsetzen wird.

Durch die zunehmende Miniaturisierung mikroelektronischer Hochfrequenzschaltungen (HF-Schaltungen) beispielsweise im Bereich der Kommunikationselektronik, vollzieht sich der Übergang von der Mikro- zur Nanoelektronik, der durch die ständige Verkleinerung der Baulemente und weitere Frequenzsteigerungen charakterisiert ist. Hierbei verringert sich auch der Abstand von gewünschten Signalen zu auftretendem Rauschen. Das inhärente Eigenrauschen der Basiselemente (Widerstände, Transistoren,...) kann das Systemverhalten so erheblich beeinflussen, dass die bisher üblichen, auf Linearisierung in der Lösung des deterministischen Problems basierenden, Verfahren zur Rauschanalyse nicht mehr befriedigen. Um festzustellen, ob entworfene Schaltungen unter diesen Bedingungen das beabsichtigte Verhalten aufweisen, müssen die Rauscheffekte in geeigneter Form mitmodelliert und im Zeitbereich, d.h. in der Transientenanalyse, simuliert werden.

Thermisches Rauschen von Widerstäden und Schrotrauschen von Halbleiterübergägen werden durch Hinzunahme von Gaussschen weissen Rauschquellen zu den deterministischen Beschreibungsgleichungen modelliert. Basierend auf der ladungs-orientierten modifizierten Knotenanalyse entstehen grosse Systeme von speziell strukturierten stochastischen Algebro-Differentialgleichungen (SDAEs) mit einer grossen Anzahl von kleinen Rauschquellen.

Die Humboldt-Universität verbindet eine langjährige wissenschaftliche Kooperation mit der entsprechenden Arbeitsgruppe von Infineon. In einem früheren vom BMBF gefördertem Projekt wurden Grundlagen für die Entwicklung von Fehlerschätzern und Schrittweitensteuerungen gelegt und ein schrittweitengesteuertes drift-implizites Euler-Verfahren für SDAEs entwickelt.

Projektziele :

Ziel des Projektes ist die Entwicklung effizienter Algorithmen zum Berechnen eines Ensembles von Lösungspfaden (d.h. Lösungen für ein Ensemble von Rauschrealisierungen), aus denen vom Kooperationspartner benötigte Charakteristika wie Phasenrauschen oder Augendiagramme gewonnen werden können. Brauchbare Aussagen erhät man erst aus der Auswertung vieler (einiger Hundert) stochastisch gestörter Lösungspfade, für deren Berechnung es bisher keine effizienten numerischen Verfahren gibt.

Hierzu sollten Algorithmen entwickelt werden, deren Kosten nicht um Grössenordnungen höher sind als beim deterministischen Rechnen mit Verfahren höherer Ordnung. Überdies sollten die Kosten langsamer steigen als die Anzahl der berechneten Lösungspfade. Insbesondere wird Folgendes Gegenstand der Untersuchung sein:

• Fehlerschätzung und Schrittweitensteuerung: Entwicklung von Fehlerschätzern für die Zeitdiskretisierung geeigneter Verfahren mit de facto der Ordnung 2. Dies sind Verfahren, deren determinierter Fehleranteil Ordnung 2 besitzt und deren stochastische Fehleranteile durch die Kleinheit des Rauschens bei den beim Rechnen verwendeten Schrittweiten nicht ins Gewicht fallen. Gedacht ist insbesondere an stochastische Varianten der im Deterministischen bewährten Trapezregel und der BDF.
• Adaptive Koordination von Zeitdiskretisierung und Zufallssimulation: Entwicklung einer Methodik, die neben der Fehlerschätzung der Diskretisierung auch den Fehler bei der Monte Carlo Simulation der in das Verfahren eingehenden Zufallsvariablen berücksichtigt und daraus Schlussfolgerungen für deren adaptive Steuerung erlaubt.
• Implementierung und praktische Umsetzung: Die entwickelten Integrationsverfahren mit Schrittweitensteuerung und adaptiver Zufallssimulation sollen an mit dem Industriepartner abgestimmte Schaltungen umfangreich getestet, im Simulationspaket TITAN implementiert und auf industrie-relevante Schaltungen angewendet werden.

Literatur:

E. Buckwar and R. Winkler: Multi-step methods for SDEs and their application to problems with small noise, Preprint 03-17, Institut für Mathematik, Humboldt-Universität Berlin, 2003 and submitted.

G. Denk and R. Winkler: Modeling and simulation of transient noise in circuit simulation, Proceedings of 4th MATHMOD, Vienna, Feb. 5-7, 2003, to appear in Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems (MCMDS).

W. Römisch and R. Winkler: Stochastic DAEs in circuit simulation, in: Modeling, Simulation and Optimization of Integrated Circuits (K. Antreich, R. Bulirsch, A. Gilg and P. Rentrop eds.), Birkhäuser, Basel 2003, 303-318.

W. Römisch and R. Winkler: Stepsize control for mean-square numerical methods for stochastic differential equations with small noise, Preprint 03-8, Institut für Mathematik, Humboldt-Universität Berlin, 2003 and submitted.

R. Winkler: Stochastic differential algebraic equations of index 1 and application in circuit simulation, Journal of Computational and Applied Mathematics 157 (2003), 477-505.

R. Winkler: Stochastic DAEs in transient noise simulation., Springer Series "Mathematics in Industry", Proceedings of "Scientific Computing in Electrical Engineering", June, 23rd - 28th, 2002, Eindhoven, 408-415.

---

last modified Dez. 8, 2004