Ein wesentlicher Forschungsschwerpunkt der Gruppe "Mathematische Physik von Raum, Zeit und Materie" liegt auf einem derzeit intensiv untersuchten Modell, das von manchen als "Wasserstoffatom des 21 Jahrhunderts“ bezeichnet wird. Die Grundidee und das Ziel sind es, eine mathematisch exakte Lösung einer, zugegebenermaßen idealisierten, Quantenfeldtheorie des allgemeinen Typs zu konstruieren, wie sie bei der Beschreibung der Kräfte zwischen den Elementarteilchen unseres Universums auftritt, mit der wichtigen Ausnahme der Schwerkraft.

Die Yang-Mills-Eichtheorie ist nach ihren Erfindern, Chen Ning Yang und Robert Mills, benannt. Das Wort Eichtheorie bezieht sich auf die Tatsache, dass diese Theorien in ihrem Kern eine gewisse eingebaute Redundanz in ihrer mathematischen Beschreibung beinhaltet, die nur schwer zu beseitigen aber offensichtlich notwendig ist, um die Spielregeln richtig zu erfassen und zu verstehen. Es ist ein bisschen so, als würde man sich für die richtigen Zeitzonen für die Erde entscheiden: Wir brauchen sie, um kommunizieren zu können, ihre Notwendigkeit ergibt sich letztlich aus der kugelförmigen Beschaffenheit der Erde und ihrer Drehung um die eigene Achse, aber die genaue Lage der Zonen ist völlig menschengemacht. Das idealisierte System, auf das sich unsere Gruppe konzentriert, heißt N=4-Super-Yang-Mills-Eichtheorie, wobei "super" nicht superinteressant bedeutet (auch wenn das sicherlich stimmt!), sondern sich auf eine schöne Symmetrie bezieht, die in der Natur noch nicht entdeckte wurde, die Supersymmetrie genannt wird. Es stipuliert, dass zusätzlich zu unseren üblichen kontinuierlichen ("bosonischen") Raumzeitdimensionen bestimmte versteckte diskrete ("fermionische") Dimensionen existieren. Die Zahl N=4 bezieht sich auf die Tatsache, dass dieses Modell nicht nur eine, sondern gleich vier solcher merkwürdigen Symmetrien aufweist. Tatsächlich ist dies die maximale Anzahl, die die mathematische Konsistenz für eine Quantenfeldtheorie in vier Raumzeitdimensionen zulässt.

In diesem Sinne ist das N=4-Eichmodell die schönste und einfachste Yang-Mills-Theorie, die man sich denken kann, auch wenn sie sicherlich nicht direkt in der Natur vorkommt. Es ist auch ein zutiefst mysteriöses Modell, da in den letzten Jahren deutlich geworden ist, dass es weitere verborgene Symmetrien sowie scheinbar widersprüchliche, alternative Beschreibungen besitzt, verspricht eine vollständige Lösung des Modells zu ermöglichen, zumindest für bestimmte Mengen und in bestimmten Grenzen.

Eine solche erstaunliche alternative Beschreibung wurde 1997 von Juan Maldacena (IAS, Princeton) aufgestellt. Er schlug vor, dass unser N=4-Modell auch durch ein System vibrierender Saiten beschrieben werden kann, die sich in zehn Raumzeitdimensionen bewegen und schwingen, eine Stringtheorie. Nicht ungefähr, sondern genau. Verwirrenderweise sind in dieser Beschreibung Gravitationskräfte enthalten, während in der Eichtheorie keine Spur von ihnen zu finden ist, wie wir bereits oben erwähnt haben. Es scheint also, dass die N=4 Yang-Mills-Theorie die Gravitationskraft irgendwie versteckt. Dies erklärt einen Großteil der Faszination, die dieses Modell auf die heutigen theoretischen Physiker ausübt: Es verspricht, Einblick in alle Kräfte zwischen Elementarteilchen zu geben, einschließlich der quantenmechanisch schwer fassbaren Gravitationsanziehung.

Ein detailliertes qualitatives und quantitatives Verständnis dieser - auf den ersten Blick ziemlich verrückt klingenden - wunderbaren Dualität zwischen einer Eichtheorie und einer Stringtheorie ist jedoch nicht leicht zu erreichen. An dieser Stelle kommen die oben erwähnten weiteren verborgenen Symmetrien ins Spiel. Sie sind von einem Typus, den der Physiker Hans Bethe in den frühen 1930er Jahren erstmals entdeckte, kurz vor seiner erzwungenen Emigration in die USA. Sie führen zur sogenannten vollständigen Integrierbarkeit des Modells. Das bedeutet, dass es möglich ist, ein System von Gleichungen aufzuschreiben, das verschiedene Größen, die im Modell von Interesse sind, auf exakte Weise verschlüsselt.

Ein einfacheres Analog einer solchen geheimen Symmetrie, die eine mathematisch exakte Behandlung ermöglicht, ist der so genannte Laplace-Runge-Lenz-Vektor, der es Isaac Newton -obwohl er dies nicht wusste- ermöglichte, die exakte Lösung für Johannes Keplers klassisches Zweikörperproblem der Planetenbewegung zu finden, und Erwin Schrödinger und Wolfgang Pauli ermöglichte, die exakte Lösung des quantenmechanischen Wasserstoffatoms zu bestimmen. Diese Analogie ist der Hauptgrund, warum die N=4-Eichtheorie als das Wasserstoffatom des 21. Jahrhunderts bezeichnet wird. Jahrhunderts genannt wird. Obwohl Physiker davon überzeugt sind, dass das Analog des Laplace-Runge-Lenz-Vektors und die entsprechende exakte Lösung des Modells auch im Fall der Eichtheorie existieren, erfordert die Suche danach langwierige und intensive Arbeit. Unsere Forschung soll ein wichtiger Schritt in diese Richtung sein.


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