Biliaisonklassen und stabile reflexive Garben vom Rang 2 auf dem IP^{3}

-Diplomarbeit

Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naurwissenschaftliche Fakultät II Institut für Mathematik

eingereicht von: Olaf Teschke geboren am :17. Mai 1972 in Bergen/Rügen

Betreuer: Prof. H. Kurke

Berlin, 26. September 2005 INHALTSVERZEICHNIS 1

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2 2 Grundlegende Aussagen zu reflexiven Garben 4 3 Grundlegende Aussagen zu Biliaisonklassen 6 4 Beschreibung der geeigneten Paare 13 5 Biliaisonklassen und Stabilität 16 6 Geometrische Konstruktion des Spektrums einer reflexiven Garbe 18 7 Biliaison, Spektrum und Monaden 21

7.1 Spektrum und N_{0}-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.2 Monaden und N_{0}-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Stratifizierung des Modulraums 24 9 Anwendungen und Beispiele 26

9.1 Einige technische Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Referenzen 33

1 Einleitung

Diese Arbeit wurde motiviert durch den Versuch, Kenntnisse über Biliaisonklassen von reflexiven Garben zur besseren Beschreibung von Moduli von Garben zu nutzen.

Die Techniken der Biliaison wurden zuerst für Unterschemata des IP^{n} der Kodimension 2 entwickelt. Dabei stammt die ursprüngliche Idee vom Verfahren der geometrischen linkage (zwei Unterschemata heißen verbunden (directly linked), wenn ihre Vereinigung vollständiger Durchschnitt ist). Liaison heißt die durch die linkage erzeugte Äquivalenzrelation; Biliaison die Unterteilung in Äquivalenzklassen, deren Elemente durch eine gerade Anzahl von links verbunden sind.

Die zunächst etwas künstlich anmutende feinere Unterteilung in Bi liaisonklassen stellte sich im Laufe der Zeit als die geeignete heraus, sowohl in Bezug auf die Struktur der Gesamtheit der Äquivalenzklassen als auch die innere Struktur einer Äquivalenzklasse. Für das erste Problem erhielt P.Rao (in [18]) die Identifikation mit stabilen Äquivalenzklassen von Vektorbündeln auf dem jeweiligen IP^{n} (dabei heißen E, E′ stabil äquivalent, wenn E ⊕ ⨁_{i=1}^{n} O(a_{i}) ≅ E′(c) ⊕ ⨁_{j=1}^{m} O(b_{j}) für gewisse a_{1}...a_{n}, b_{1}...b_{m}, c ∈ ZZ). Dies entspricht im Fall der Kurven im IP^{3} einer über den Hartshorne-Rao-Modul ⨁_{n∈ZZ} H^{1}I_{C}(l) hergestellten bijektiven Korrespondenz zwischen Biliaisonklassen und graduierten k[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}] -Moduln endlicher Länge ohne Berücksichtigung des Shifts.

Die Struktur innerhalb einer Biliaisonklasse wurde zuerst im Kurvenfall von M.Martin-Deschamps und D.Perrin (in [14]) untersucht. Dabei wurde für Biliaisonklassen von Kurven (rein 1-dimensional ohne eingebettete Punkte) mit ⨁_{n∈ZZ} H^{1}(I_{C}(l)) ≠ 0 die Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft nachgewiesen, d.h. es wurde innerhalb der Biliaisonklasse ein bzgl. einer gewissen Ordnung minimales Element konstruiert, von dem aus bis auf Deformation mit konstanter Kohomologie die gesamte Klasse durch wiederholtes Durchführen eines doppelten Linkage-Prozesses erzeugt werden kann.

Motiviert durch die Hartshorne-Serre-Korrespondenz zwischen reflexiven Garben und Raumkurven wurde in [5] aufbauend auf [14] eine Klassifikation von reflexiven Garben vom Rang 2 auf dem IP^{3} nach dem ⨁_{n∈ZZ} H^{1}(F(l))-Modul (mit Berücksichtigung des Shifts) durchgeführt. Viele wesentliche Ergebnisse für Raumkurven übertragen sich modifiziert. Insbesondere ergibt sich als wesentliches Ergebnis der Nachweis der Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft bzgl. einer gewissen Halbordnung sowie unter Ausnutzung von Ergebnissen von [15] die Formulierung von Kriterien für die Durchführbarkeit von sogenannten elementaren Biliaisonschritten (die hier dem Prozeß der doppelten Linkage entsprechen). Diese Resultate werden im Abschnitt 2 referiert.

Bei der Betrachtung des Verhaltens bestimmter Eigenschaften (wie z.B. Stabilität) unter Biliaison erweist sich schnell die Notwendigkeit, die abstrakten Kriterien für die Durchfürbarkeit von Biliaisonschritten aus [15] konkreter zu fassen. Die dazu nötigen technischen Überlegungen sind im Abschnitt 3 enthalten. Im wesentlichen Ergebnis dieses Abschnittes wird eine Reihe von notwendigen und hinreichenden Ordnungsrelationen zwischen den Invarianten der Biliaisonschritte einerseits und zwei Invarianten der Klasse andererseits aufgelistet.

Die Kenntnis der Strukturen innerhalb einer Biliaisonklasse kann zunächst zur Formulierung von notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Stabilität der in der Biliaisonklasse auftretenden Garben genutzt werden. Dazu werden in Abschnitt 4 die Möglichkeiten von elementaren Biliaisonschritten in Termen von Invarianten des Moduls genauer beschrieben. Daraus erhält man dann im Abschnitt 5 sofort ein Stabilitätskriterium und einen gewissen Überblick über die Verteilung der stabilen Garben in der Äquivalenzklasse.

Zum anderen ist seit langem für Vektorbündel die Existenz (und geometrische Konstruktion) einer numerischen Invariante, des Spektrums, bekannt (s. [3]). Sie beschreibt numerische Eigenschaften der ersten und zweiten Kohomologie. In [9] wird die Existenz von numerischen Invarianten mit gleichen Eigenschaften auch für den allgemeineren Fall der stabilen reflexiven Garben bewiesen, wobei jedoch auf die geometrische Beschreibung verzichtet werden muß. Es stellt sich jedoch heraus, daß unter der Voraussetzung k = C sich eine zum Fall der Vektorbündel analoge Konstruktion durchführen läßt. Die entsprechenden Überlegungen werden in Abschnitt 6 entwickelt.

Die Zusammenführung der vorhergehenden Ergebnisse liefert für semistabile Garben F, daß das Spektrum innerhalb einer Biliaisonklasse die Garbe bis auf eine Deformation mit konstanter Kohomologie eindeutig bestimmt (Abschnitt 7). Damit können die semistabilen Garben mit fixiertem Spektrum und H_{∗}^{1}-Modul relativ einfach beschrieben werden; diese Fixierung liefert eine Stratifikation des Modulraums M(c_{1}, c_{2}, c_{3}). Inbesondere kann diese Konstruktion auch als Verfeinerung/Verallgemeinerung der Monadenkonstruktion für Vektorbündel (s. z.B. [1]) gesehen werden. Insbesondere ergibt sich ein Kriterium für die die H_{∗}^{1}-Moduln (semi-)stabiler Vektorbündel. Im letzten Abschnitt werden die entwickelten Methoden auf einige Beispiele mit extremer dritter Chernklasse, extremem Spektrum sowie niedriger zweiter Chernklasse angewendet.

Danksagung: Mein besonderer Dank gilt Prof. Dr. H. Kurke, der diese Arbeit anregte und betreute, sowie Dr. G. Hein für einige hilfreiche Diskussionen.

Bezeichnungen:

Fast alle Aussagen beziehen sich auf einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Grundkörper k; dabei wird IP_{k}^{n} mit IP^{n} abgekürzt. In einigen Aussagen, die zusätzlich char k = 0 erfordern, wird dies explizit deutlich gemacht. S := k[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}] sei der homogene Koordinatenring des IP_{k}^{3} und m das von (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}) erzeugte Ideal.

O bezeichne die Strukturgarbe O_{IP}_{3}, O(1) den amplen Erzeuger von Pic(IP^{3}), O(n) (n ∈ ZZ) die entsprechenden Vielfachen. Die Chernklassen des IP^{n} in der üblichen Weise mit ganzen Zahlen identifiziert: c_{i}(E) = a, falls ∫_{IP}_{n}(c_{i}(E).H^{n−i}) = a (H=Hyperebenenklasse in CH^{1}(IP^{n})).

Eine Summe von Linienbündeln heiße im folgenden freie Garbe. Sei eine freie Garbe in der Form A = ⨁ O(−n)^{a(n)} dargestellt, so wird die assoziierte Funktion a : ZZ ⟶ ZZ mit dem jeweiligen kleinen Buchstaben bezeichnet. f^{#} sei die zu einer Funktion f : ZZ → ZZ gehörige Summenfunktion (f^{#}(n) = ∑_{k≤n} f(k)), ∂^{n}f die zugehorige n-te Differenzfunktion (∂f(n) = f(n) − f(n − 1), ∂^{n+1}f = ∂∂^{n}f).

Die graduierte Kohomologie einer Garbe G sei als H_{∗}^{i}G = ⨁ H^{i}G(l) abgekürzt. Für ein Unterschema V ⊂ IP^{3} bezeichne G_{V} die Garbe G ⊗ O_{V}. Wenn das Schema X aus dem Zusammenhang klar ist, wird für H^{i}(X, G) H^{i}(G) geschrieben.

G^{∨} bezeichne die duale Garbe Hom(G, O). Der duale Raum zu einem Vektorraum V wird mit V′ bezeichnet. Für einen graduierten S-Modul M bezeichne M^{∗} den dualen Vektorraum Hom(M, k) mit der durch M induzierten S-Modulstruktur.

2 Grundlegende Aussagen zu reflexiven Garben

Bemerkung: Für die ausgelassenen Beweise der in diesem Abschnitt zitierten Sätze wird auf [9] verwiesen.

Definition 2.1 Eine kohärente Garbe F auf einem Schema X heißt reflexiv, wenn die natürliche Abbildung F⟶F^{∨∨} ein Isomorphismus ist.

Bemerkung: Insbesondere ist eine reflexive Garbe torsionsfrei (d.h. F⟶F^{∨∨} injektiv). Weiter gilt:

Lemma 2.2 Eine kohärente Garbe F auf einem normalen Schema X ist reflexiv gdw.

(1) F ist torsionsfrei

(2) für alle x ∈ X mit dim O_{x} ≥ 2 ist dp F_{x} ≥ 2

Korollar 2.3 Sei X glatt. Dann ist eine reflexive Garbe lokal frei bis auf ein abgeschlossenes Unterschema der Kodimension ≥3.

Auf glatten 3-Mannigfaltigkeiten X kann dies noch etwas genauer gefaßt werden:

Lemma 2.4 Sei X glattes dreidimensionales Schema, F eine kohärente Garbe auf X, dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(i) F ist reflexiv (ii) F besitzt eine Auflösung der Form

0 → E_{1} →^{Φ} E_{0} → F → 0,

wobei E_{0}, E_{1} Vektorbündel sind und Φ nur isolierte ”Nullstellen“ hat (d.h. {P ∈ X : Φ_{|P} = 0} ist diskretes 0-dimensionales Unterschema von X).

Solche Auflösungen werden genauer in den folgenden Abschnitten studiert.

Definition 2.5 Eine kohärente Garbe F ist normal gdw. für alle offenen Mengen U ⊂ X und alle abgeschlossenen Mengen Y ⊂ X mit codimY ≥ 2 gilt: F(U) ⟶ F(U − Y) ist bijektiv.

Lemma 2.6 Eine kohärente Garbe F auf einem normalen integralen Schema X ist reflexiv gdw. sie torsionsfrei und normal ist.

Satz 2.7 (Serre-Dualität) Sei X ein glattes 3-dimensionales Schema, ω = ω_{X} die kanonische Garbe auf X, F eine reflexive Garbe auf X. Dann gibt es gibt Isomorphismen

H^{0}(X, F^{∨} ⊗ ω) ≅ H^{3}(X, F)′ und H^{3}(X, F^{∨} ⊗ ω) ≅ H^{0}(X, F)′

und die exakte Sequenz

0 → H^{1}(X, F^{∨}⊗ω) → H^{2}(X, F)′ → H^{0}(X, Ext^{1}(F, ω)) → H^{2}(X, F^{∨}⊗ω) → H^{1}(X, F)′ → 0.

Beweis: Die Spektralfolge der globalen und lokalen Ext-Funktoren liefert :

E_{2}^{pq} = H^{p}(X, Ext^{q}(F, ω) ⇒ Ext^{p+q}(F, ω)

Es gilt: E^{pq} = 0 für q > 1 (Lemma 2.1) und q = 1, p > 1 (Korollar 2.3: Ext^{1}(F, ω) ist in endlich vielen Punkten konzentriert). Daher zerfällt die Spektralfolge in die Isomorphismen

H^{0}(X, F^{∨} ⊗ ω) ≅ Hom(F, ω) und H^{3}(X, F^{∨} ⊗ ω) ≅ Ext^{3}(F, ω)

sowie die exakte Sequenz

0 → H^{1}(X, F^{∨}⊗ω) → Ext^{1}(F, ω) → H^{0}(X, Ext^{1}(F, ω)) → H^{2}(X, F^{∨}⊗ω) → Ext^{2}(F, ω) → 0.

Weiterhin ist bekannt: Da X glatt, existiert eine vollständige Paarung

H^{i}(X, F) ⊗ Ext^{3−i}(F, ω) → k 0 ≤ i ≤ 3

nach der bekannten Serre-Dualität. Durch Einsetzen erhält man die Behauptung. □

Proposition 2.8 Sei F eine reflexive Garbe vom Rang 2 auf einem integralen lokal faktoriellen Schema X. Dann gilt: F^{∨} ≅ F ⊗ (detF)^{−1}.

Im folgenden sei F stets eine reflexive Garbe vom Rang 2 auf dem IP^{3}.

Lemma 2.9 (Änderung der Chernklassen bei Twist) Sei c_{i} = c_{i}F, c′_{i} = c_{i}F(l). Dann gilt

(i) c′_{1} = c_{1} + 2l (ii) c′_{2} = c_{2} + lc_{1} + l^{2} (iii) c′_{3} = c_{3}

Beweis: Zurückführung auf freie Garben (Splittingprinzip), danach explizite Rechnung. □

Bemerkung:

1. Aufgrund von (i) ist es stets möglich, durch Twist mit einem Linienbündel c_{1}F ∈ {−1, 0} zu erreichen. Die Garbe F heißt dann normiert.

2. Die dritte Chernklasse ist invariant unter Twists mit Linienbündeln; 2.11 liefert dafür auch eine geometrische Begründung.

Satz 2.10 (Riemann-Roch)

χ(F) = \binom{c_{1} + 3}{3} − 2c_{2} + \frac{1}{2}(c_{3} − c_{1}c_{2}) + 1

Beweis: Folgt z.B. aus Grothendieck-RR ([8]).□

Korollar 2.11 c_{3}(F) = h^{0}(Ext^{1}(F, ω))

Beweis: Folgt aus 2.6, 2.7 und 2.8., angewandt auf F(−2) (c_{1}F = 0) bzw. F(−1), F(−2) (c_{1}F = −1) □

Bemerkung: In diesem Sinne kann c_{3} als Maß für die Anzahl der nicht lokal freien Punkte aufgefaßt werden.

Korollar 2.12 c_{3} ≥ 0, und c_{3} = 0 gdw. F ist lokal frei.

□

Definition 2.13 Eine reflexive Garbe F heiße stabil (semistabil), wenn für jede kohärente Untergarbe F′ mit 0 < rkF′ < F gilt: μ(F) < μ(F) (bzw. ≤), wobei μ = c_{1}/rk.

Bemerkung: Für reflexive Garben vom Rang 2 auf dem IP^{3} fallen die Begriffe ”stabil“ und ”Giesekerstabil“ (bei dessen Definition μ durch P/rk (P =Hilbertpolynom) ersetzt wird) zusammen.

Lemma 2.14 Sei F normiert, dann ist F stabil gdw. H^{0}(F) = 0. Wenn c_{1} = 0, dann ist F semistabil gdw. H^{0}(F(−1)) = 0.

Satz 2.15 Sei F semistabil. Dann ist die Einschränkung F_{H} auf eine allgemeine Hyperebene H ⊆ IP^{3} semistabil.

Korollar 2.16 (Grauert-Mülich) Sei F normierte semistabile reflexive Garbe vom Rang 2 auf IPC^{3} . Dann ist die Einschränkung F_{L} auf eine allgemeine Gerade L ⊆ IP^{3}C vom Typ O ⊕ O (c_{1} = 0) bzw. O ⊕ O(−1) (c_{1} = −1).

Beweis: Folgt aus Satz 2.14 und dem klassischen Satz von Grauert-Mülich.□

Bemerkung: Die Annahme k = C wird wesentlich im Abschnitt 4 benötigt.

Satz 2.17 (Serre-Korrespondenz) Sei c_{1} ∈ ZZ fixiert. Es gibt eine 1-1 Korrospondenz zwischen

(1) Paaren (F, s): c_{1}(F) = c_{1}, s ∈ H^{0}(F) mit codim(V (s)) = 2 modulo Isomorphie und (2) Paaren (Y, ξ): Y ⊂ IP^{3} Kurve, Cohen-Macaulay, generisch lokal vollständiger Durchschnitt; und ξ ∈ H^{0}(ω_{Y} (4 − c_{1})) ein globaler Schnitt, der ω_{Y} (4 − c_{1}) bis auf endlich viele Punkte erzeugt.

3 Grundlegende Aussagen zu Biliaisonklassen

Biliaisonklassen wurden zunächst zur Klassifikation von Raumkurven von Rao ([17]) eingeführt. In [14] wird diese Technik zur Konstruktion von Hilbertschamata mit konstantem H_{∗}^{1}-Modul (”Hartshorne-Rao-Modul“) gebraucht. Darauf aufbauend wurde von A.Buraggina in [5] der durch die Korrespondenz 2.16 nahegelegte Versuch unternommen, diese Methoden auch auf die Klassifizierung von reflexiven Garben auszudehnen. Dieser Abschnitt gibt im wesentlichen die Hauptergebnisse von [5] wieder.

Definition und Lemma 3.1 Sei

0 ⟶ L_{4} ⟶^{σ_{4}} L_{3} ⟶^{σ_{3}} L_{2} ⟶^{σ_{2}} L_{1} ⟶^{σ_{1}} L_{0} ⟶^{σ_{0}} H_{∗}^{1}(F) = M ⟶ 0

eine minimale Auflösung des ersten graduierten Kohomologiemoduls von F, und seien N_{0}, E_{0} die assoziierten Garben zu dem ersten bzw. zweiten Syzygienmodul von M (N_{0} = ker(L_{1} ⟶ L_{0}) bzw. E_{0} = ker(L_{2} ⟶ L_{1})). Dann gilt:

(i) Die duale Sequenz liefert eine minimale graduierte Auflösung von M^{∗}(4), wobei E_{0}^{∨} = ker(σ_{4}^{∨}) und N_{0}^{∨} = ker(σ_{3}^{∨}).

(ii) \begin{matrix}H_{∗}^{0}N_{0} = N_{0} & H_{∗}^{1}N_{0} = M & H_{∗}^{2}N_{0} = 0 \\ H_{∗}^{0}E_{0} = E_{0} & H_{∗}^{1}E_{0} = 0 & H_{∗}^{2}E_{0} = M \\ H_{∗}^{0}N_{0}^{∨} = N_{0}^{∗} & H_{∗}^{1}N_{0}^{∨} = 0 & H_{∗}^{2}N_{0}^{∨} = M^{∗}(4) \\ H_{∗}^{0}E_{0}^{∨} = E_{0}^{∗} & H_{∗}^{1}E_{0}^{∨} = M^{∗}(4) & H_{∗}^{2}E_{0}^{∨} = 0 \end{matrix}

(iii) N_{0} und E_{0} besitzen keinen freien Summanden, N_{0} und E_{0} besitzen keinen Linienbündelsummanden.

Beweis:

(i) Da M S-Modul von endlicher Länge, haben wir Ext_{S}^{i}(M, S) = 0 für i ≠ 4. Durch Aufspalten der Sequenz und Dualisieren erhält man: Ext_{S}^{i}(im σ_{1}, S) = 0 für i ≠ 3, Ext_{S}^{i}(N_{0}, S) = 0 für i ≠ 0, 2 und Ext_{S}^{i}(E_{0}, S) für i ≠ 0, 1. Weiterhin ist Ext_{S}^{4}(M, S) ≅ Ext_{S}^{2}(N_{0}, S) ≅ Ext_{S}^{1}(E_{0}, S) ≅ M^{∗}(4). (ii) Folgt direkt aus der langen exakten Kohomologiesequenz der definierenden Folgen

0 ⟶ N_{0} ⟶ L_{1} ⟶ L_{0} ⟶ 0
0 ⟶ E_{0} ⟶ L_{2} ⟶ N_{0} ⟶ 0

und der Serre-Dualität. (iii) Offenbar sind die beiden Aussagen äquivalent. Wir führen den Beweis zunächst für N_{0}: Angenommen, N_{0} = N ⊕S(a). Da Ext_{S}^{1}(im σ_{1}, S) = 0 (s.(i)), erhält man nach Dualisierung die Sequenz:

0 ⟶ L_{0}^{∨} ⟶ L_{1}^{∨} ⟶ N^{∨} ⊕ S(a) ⟶ 0

Durch Projektion auf den zweiten Faktor erhält man eine Surjektion L_{1}^{∗} ⟶ S(a) ⟶ 0 und somit S(a) als direkten Faktor von L_{1} im Widerspruch zur Minimalität der Auflösung. Der Beweis für E_{0} verläuft analog unter Verwendung von Ext_{S}^{1}(N_{0}, S) = 0. □

Satz und Definition 3.2 Seien die Bezeichnungen wie in Lemma 3.1.

(i) Es können zu F folgende zwei Typen von Sequenzen assoziiert werden:

0 ⟶ A ⟶^{a} N_{0} ⊕ D ⟶ F ⟶ 0 (1)

0 ⟶ E_{0} ⊕ L ⟶^{p} M ⟶ F ⟶ 0 (2)

Dabei sind A, D, L, M freie Garben. (ii) Diese Sequenzen heißen N_{0}-(bzw. E_{0}-) Auflösung, wenn die Abbildung a (bzw. p) der Bedingung a^{∗} mod m = 0 (bzw. p^{∗} mod m = 0) genügt. Solch eine minimale Sequenz ist eindeutig bis auf Isomorphie. Alle anderen Sequenzen dieses Typs (im folgenden N_{0}- (bzw. E_{0}-)-Darstellungen genannt) entstehen daraus durch triviale Addition einer freien Garbe. (iii) Für die Auflösungen existiert eine Zerlegung A ≅ L ⊕ L′_{2}, M ≅ D ⊕ L′′_{2}, so daß L′_{2} ⊕ L′′_{2} ≅ L_{2}, der assoziierten Garbe zu L_{2} aus der Auflösung von M.

Beweis: Wir führen nur den Beweis für den N_{0} -Teil der Behauptungen an; der E_{0} -Teil verläuft analog.

(i) Sei G →^{g} H_{∗}^{2}F′ → 0 Anfang einer minimalen freien Auflösung, dann definiert

g ∈ Hom(G, H_{∗}^{2}F′) ≅ H_{∗}^{2}F′ ⊗ G^{∗} ≅ Ext_{S}^{1}(H_{∗}^{0}F, S(−4)) ⊗ G^{∗} ≅ Ext_{S}^{1}(H_{∗}^{0}F, G^{∗}(−4))

eine exakte Folge von Moduln

0 → G^{∗}(−4) → B → H_{∗}^{0}F → 0

und damit von assoziierten Garben

0 → A → B → F → 0

mit einer freien Garbe A und einer torsionsfreien Garbe B mit H_{∗}^{1}B ≅ H_{∗}^{1}F. H_{∗}^{2}B verschwindet (die erste Folge liefert nach Anwenden von Hom(−, S(−4)) die lange exakte Folge

0 → H_{∗}^{0}F(−4) → B^{∗}(−4) ⟶^{a^{∗}(−4)} G →^{g} Ext_{S}^{1}(H_{∗}^{0}F, S(−4)) → Ext_{S}^{1}(B, S(−4)) → 0,

und da g surjektiv, 0 = Ext_{S}^{1}(B, S(−4)) ≅ H_{∗}^{2}B), daher ist B ein Vektorbündel (Zwischenkohomologiegruppen sind von endlicher Länge) und kann eindeutig in der Form N_{0} ⊕ D (D frei und N_{0} ohne Linienbündelsummanden) dargestellt werden ([11]). Insbesondere stimmt N_{0} mit dem so benannten Vektorbündel aus dem vorigen Lemma überein.

(ii) Die Auswertung der letzten langen exakten Folge über k liefert wegen der Minimalität der durch g gegebenen Erzeuger, daß g mod m ein Isomorphismus ist. Damit ist a^{∗}(−4) mod m = 0, also auch a^{∗} mod m = 0. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, daß zwei Folgen der Form

0 ⟶ A ⟶^{a} N_{0} ⊕ D ⟶ H_{∗}^{0}F ⟶ 0

0 ⟶ C ⟶^{c} N_{0} ⊕ E ⟶ H_{∗}^{0}F ⟶ 0

gegeben seien mit freien graduierten S-Moduln A, D, C, E, N_{0} = H_{∗}^{0}N_{0} und a^{∗} mod m = c^{∗} mod m = 0. Wegen H_{∗}^{2}N_{0} = 0 verschwindet auch Ext_{S}^{1}(N_{0} ⊕ D, C), damit liftet die Identität auf H_{∗}^{0}F zu einem Morphismus (ψ, ϕ, id) der Folgen. Nach Dualisieren und Auswerten auf k erhält man nach Voraussetzung, daß ψ^{∗} mod m : C^{∗} → A^{∗} ein Isomorphismus ist. Aus dem graduierten Nakayama Lemma folgt dann Coker ψ^{∗} = 0. Andererseits gilt kerψ^{∗} mod m = 0 (da C^{∗} frei), also wiederum mit Nakayama ker ψ^{∗} = 0. Damit ist ψ^{∗} Isomorphismus, also auch ϕ^{∗} nach dem Fünferlemma, also auch ψ, ϕ.

(iii) Der Beweis kann unter Verwendung der N_{0}, E_{0}-Auflösungen sowie der in Lemma 3.1. gegebenen Folge

0 ⟶ E_{0} ⟶ L_{2} ⟶ N_{0} ⟶ 0

geführt werden (siehe [14], Proposition (II,6.1). Eine andere Möglichkeit ist die explizite Beschreibung der Zerlegung, wie sie weiter unten in 3.8 gegeben wird.

□ Definition 3.3 (Biliaisonklasse und stabile Äquivalenz) Es seien

(i) Zwei reflexive Garben F, F′ auf dem IP^{3} in derselben Biliaisonklasse gdw. H_{∗}^{1}(F) = H_{∗}^{1}(F′) (ii) Zwei Vektorbündel E, E′ auf dem IP^{3} stabil äquivalent, wenn freie Bündel A, B existieren, so daß E ⊕ A ≅ E′ ⊕ B.

Satz 3.4 (Charakterisierungssatz für Biliaisonklassen) Es besteht eine bijektive Korrespondenz zwischen den folgenden drei Mengen:

(1) Biliaisonklassen von reflexiven Garben vom Rang 2 auf dem IP^{3}

(2) Isomorphismenklassen von graduierten S-Modulen endlicher Länge

(3) Stabile Äquivalenzklassen von Vektorbündeln auf dem IP^{3} mit H_{∗}^{2} = 0.

Beweis: (1)⇒(2): Nach Definition der Biliaisonklassen ist durch [F] → H^{1}F die Zuordnung gegeben. (2)⇒(3): Die Zuordnung M → N_{0} aus 3.1 leistet nach 3.2 das Gewünschte. (3)⇒(1): Sei N Vektorbündel vom Rang n mit verschwindender zweiter Kohomologie, dann existieren für einen hinreichend großen Twist N (k) n − 2 Schnitte, so daß der Quotient von ⨁_{j=1}^{n−2} O(−k) → N reflexiv ist (folgt aus 2.2; eine quantitative Beschreibung von k wird weiter unten gegeben).□

Definition 3.5 Sei N_{0} Vektorbündel ohne freien Summanden mit H_{∗}^{2}N_{0} = 0, so bezeichne im folgenden Refl(N_{0}) die zugehörige Biliaisonklasse.

Es soll nun die Struktur innerhalb einer Äquivalenzklasse untersucht werden; dazu sei ab jetzt N_{0} fixiert.

Definition 3.6 Sei E reflexive Garbe auf dem IP^{3},

⨁_{n∈ZZ} S(−n)^{l_{E}(n)} ⟶ H_{∗}^{0}E ⟶ 0

ein minimales Erzeugendensystem der globalen Schnitte,

⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{l_{E}(n)} ⟶^{f} E ⟶ 0

der zugehörige Garbenmorphismus. Da E reflexiv ist, ist für jede integrale Fläche S ⊂ IP^{3} (bzw. integrale Kurve C ⊂ IP^{3}) die Einschränkung E_{|S} (bzw. E_{|C}) auf einer offenen Menge U ⊂ S (bzw. U ⊂ C) frei. Somit ist der Rang rk f_{n|S} (bzw. rk f_{n|C}) als rk f_{n|U} wohldefiniert, und wir können die folgenden Invarianten definieren:

(1) E_{≤n} := im(H^{0}E(n) ⊗ O(−n) ⟶^{f_{n}} E)

(2) l_{n}(E) := dim(H^{0}E(n)/ ∑ χ_{v}H^{0}E(n − 1))

(3) α_{n}(E) := rkf_{n}

(4) β_{n}(E) := inf_{S}rk(f_{n|S})

(5) γ_{n}(E) := inf_{C}rk(f_{n|C})

(6) T_{E} := sup{n|E_{≤n} ist frei und E/E_{≤n} ist torsionsfrei }

(7) R_{E} := sup{n|E_{≤n} ist frei und E/E_{≤n} ist reflexiv } Lemma 3.7 Mit den obigen Bezeichnungen gilt:

(i) R_{E} ≤ T_{E}, und für alle n ≤ R_{E} (bzw. T_{E}) ist E/E_{≤n} reflexiv (bzw. torsionsfrei). E ist frei gdw. R_{E} = T_{E} = ∞ (ii) T_{E} = sup{n|n_{E}^{#}(n) = α_{n}(E) = β_{n}(E)} und

R_{E} = sup{n|l_{E}^{#}(n) = α_{n}(E) = β_{n}(E) = γ_{n}(E)}

Beweis: Offenbar genügt es, (ii) zu zeigen. Die Gleichheit l_{E}^{#}(n) = α_{n}(E) bedeutet einfach die Injektivität von f_{≤n}. α_{n}(E) = β_{n}(E) (bzw. α_{n}(E) = β_{n}(E) = γ_{n}(E)) übersetzt sich in die Aussage, daß der Rang von f_{≤n} bei Einschränkung auf ein Unterschema der Kodimension 1 (bzw. 2) kleiner wird. Die Charakterisierungsätze aus Abschnitt 2 liefern dann die gewünschten Eigenschaften. □

Definition 3.8 (χ − F unktion)

χ_{E}^{#}(n) = \{ \begin{matrix}γ_{n}(E) : & n ≤ T_{E} \\ inf\{α_{n}(E) − 2, β_{n}(E) − 1, γ_{n}(E)\} : & n > T_{E} \end{matrix}

Lemma 3.9 Sei A = ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{a(n)}, dann gilt mit den obigen Bezeichnungen:

(i) T_{E⊕A} = T_{E}, R_{E⊕A} = R_{E} (ii) χ_{E⊕A} = χ_{E} + a(k)

Satz 3.10 (Martin-Deschamps - Perrin) Sei E reflexive Garbe auf dem IP^{3}, aber keine freie Garbe. Dann hat ein generischer Morphismus u: ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{ϕ(n)} ⟶ E einen reflexiven Kokern gdw.

(1) ϕ^{#}(n) ≤ χ_{E}^{#}(n) für alle n ∈ ZZ

(2) FO-Bedingung (”condition du facteur oblige“): Wenn für ein n_{0} ≤ R_{E} ϕ^{#}(n_{0}) = rk E_{≤n_{0}} ist, dann gilt ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{ϕ(n)} ≅ E_{≤n_{0}}; wenn für ein n_{0} ≤ T_{E} ϕ^{#}(n_{0}) =rk E_{≤n_{0}} − 1 ist, dann ist ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{ϕ(n)} isomorph zu einem direktem Summanden von E_{≤n_{0}}.

Beweis: [15] □

Bemerkung:

(i) Im betrachteten Fall der reflexiven Garben auf dem IP^{3} wird der Satz auf das in der N_{0}-Darstellung auftretende Bündel N_{0} ⊕ D angewendet. In diesem Fall ist l_{N_{0}⊕D}(n) = l_{2}(n) + d(n) für alle n ∈ ZZ, und der Satz charakterisiert u.a. genauer die in 3.2.(iii) angegebene Zerlegung. (ii) Wenn der Kokern lokal frei (also ein Vektorbündel) sein soll, ergibt sich für n ≤ R_{N_{0}} zusätzlich die Bedingung, daß ϕ auch bei Einschränkung auf Punkte den Rang nicht vermindert. Zieht man das weiter unten gezeigte Korollar 3.18 hinzu, daß D = 0 für eine N_{0}-Auflösung eines Vektorbündels, ergibt sich insbesondere nach dem obigen Satz l_{2}^{#}(n) = inf{rkf_{n|P} |P ∈ IP^{3} Punkt } für n ≤ R_{N_{0}}.

Definition 3.11 (Halbordnung in Biliaisonklassen) Seien F, F′ ∈ Refl(N_{0}), A, D, A′, D′ die in einer gewählten N_{0} - Darstellung auftretenden freien Garben. Dann sei F ⪯ F′ gdw. (a − d)^{#}(n) ≥ (a′ − d′)^{#}(n) für alle n ∈ ZZ.

Bemerkung: Nach Satz 3.2. sind die Funktionen (a − d)^{#}, (a′ − d′)^{#} unabhängig von der Darstellung; sie werden im folgenden charakteristische Funktionen genannt. Eine Funktion (a − d)^{#} heiße im folgenden geeignet, wenn es eine charakteristische Funktion zu einer reflexiven Garbe ist.

Lemma 3.12 Bzgl. der durch ⪯ definierten Halbordnung auf Refl(N_{0}) sind die minimalen Garben genau die, für die (a − d)^{#}(n) = χ^{#}(n) gilt für alle n ∈ ZZ.

Definition und Lemma 3.13 Zwei Garben F, F′ in Refl(N_{0}) mit (a−d)^{#}(n) = (a′ −d′)^{#}(n) für alle n ∈ ZZ unterscheiden sich nur durch eine Deformation mit konstanter Kohomologie. Die Menge aller reflexiven Garben zu der Funktion (a − d)^{#} (offen in Hom(A, N_{0} ⊕ D)) sei im folgenden als Biliaisonschicht bezeichnet.

Beweis:Wir modifizieren die N_{0}-Darstellungen für F, F′ durch Addition von D bzw. D′ und erhalten

0 ⟶ A ⊕ D′ ⟶^{a⊕id_{D′}} N_{0} ⊕ D ⊕ D′ ⟶ F ⟶ 0

0 ⟶ A′ ⊕ D ⟶^{a′⊕id_{D}} N_{0} ⊕ D′ ⊕ D ⟶ F′ ⟶ 0.

Nach Voraussetzung gilt a′ +d = a+d′, also A⊕D′ ≅ A′ ⊕D; d.h. die linken und mittleren Terme der modifizierten Folgen stimmen überein. Wir betrachten folgende Familie von Abbildungen:

f_{t} := t(a ⊕ id_{D′}) + (1 − t)(u′ ⊕ id_{D}) ∈ Hom(A ⊕ D′, N_{0} ⊕ D ⊕ D′), t ∈ k

Für t ∈ U (U offen, {0, 1} ∈ U ⊂ k) hat f_{t} einen reflexiven Kokern, daher existiert eine Deformation von F nach F′ in Refl(N_{0}). Die Konstanz der Kohomologie ergibt sich direkt aus den Eigenschaften der Kohomologie der fixierten Bündel in der Folge: Da H_{∗}^{1}(A′ ⊕ D) = 0, ergibt sich H_{∗}^{0}(F_{t}) aus den anderen beiden Termen. Damit ist auch (Serre-Dualität, vgl. Satz 2.7) H_{∗}^{3}(F_{t}) festgelegt. H_{∗}^{1}(F_{t}) ist nach Konstruktion innerhalb der gesamten Biliaisonklasse konstant, und somit auch die verbleibende Gruppe H_{∗}^{2}F_{t} (berechenbar aus langer exakter Kohomologiefolge oder Riemann-Roch). □

Im weiteren sei vorausgesetzt, daß F nicht Arithmetisch Cohen-Macaulay ist (im folgenden als ACM abgekürzt), d.h. der Fall H_{∗}^{1}(F) = 0 wird ausgeschlossen.

Wesentliches Element beim Studium der Strukturen einer Biliaisonklasse ist der Aufbau von neuen Biliaisonschichten aus gegebenen durch elementare Biliaison. Grob gesagt, entsteht die neue Schicht durch Addition je eines Linienbündels im linken und mittleren Teil der exakten Folge:

Definition 3.14 (elementare Biliaison) Sei eine Biliaisonschicht gegeben durch eine exakte Folge

0 ⟶ A ⟶ N_{0} ⊕ D ⟶ F ⟶ 0

wie in Satz 3.2. mit freien Garben A, D. Seien b ≠ c ∈ ZZ so gewählt, daß die assoziierten Funktionen zu A⊕O(−b), D ⊕O(−c) geeignet sind. Dann heißt die durch die exakte Folge

0 ⟶ A ⊕ O(−b) ⟶ N_{0} ⊕ D ⊕ O(−c) ⟶ E ⟶ 0

gegebene Biliaisonschicht durch ”elementare Biliaison vom Typ (b,c)“ aus der vorigen entstanden. Für b > c wird dieser Prozeß aufsteigende, für b < c absteigende elementare Biliaison genannt.

Bemerkung:

(i) In Termen der charakteristischen Funktionen kann die elementare Biliaison folgendermaßen beschrieben werden: Eine Biliaisonschicht mit der charakteristischen Funktion (a′ −d′)^{#} ist aus einer Biliaisonschicht mit der charakteristischen Funktion (a−d)^{#} durch aufsteigende (bzw. absteigende) elementare Biliaison vom Typ (b,c) mit b > c (bzw. b < c) entstanden, wenn gilt:

(a′ − d′)^{#} = \{ \begin{matrix}(a − d)^{#}(n) : & n < min(b, c) \\ (a − d)^{#}(n) − 1 (bzw. + 1) : & min(b, c) ≤ n < max(b, c) \\ (a − d)^{#}(n) : & n ≥ max(b, c) \end{matrix}

(ii) Der triviale Fall b = c, der die Biliaisonschicht nicht verläßt, wird nicht als elementare Biliaison betrachtet. (iii) Satz 3.10 liefert Bedingungen dafür, welche b, c für eine elementare Biliaison in Frage kommen; für eine genauere Beschreibung s. Abschnitt 4.

Wesentliche Strukturaussage aus [5] ist der folgende Satz:

Satz 3.15 (Buraggina) Sei F ⪯ F′, dann existiert eine endliche Folge von aufsteigenden Biliaisonschritten, die die Schicht von F in die Schicht von F′ überführt.

Bemerkung: Satz 3.15 und Lemma 3.13 weisen die Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft auch für Biliaisonklassen von reflexiven Garben nach.

Lemma 3.16 (Änderung der Chernklassen bei elementarer Biliaison) c′_{1} = c_{1} + b − c c′_{2} = c_{2} + (b − c)(c_{1} + b) c′_{3} = c_{3} + (b − c)(c_{2} + b^{2} + bc_{1})

Satz 3.17 F ⪯ F′, dann c_{1}F ≤ c_{1}F′, c_{3}F ≤ c_{3}F′.

Bemerkung: Die minimalen ersten bzw. dritten Chernklassen in einer Biliaisonklasse werden im folgenden als c_{1,N_{0}}^{min} bzw. c_{3,N_{0}}^{min} bezeichnet.

Korollar 3.18 Refl(N_{0}) enthält Vektorbündel gdw. c_{3,N_{0}}^{min} = 0. Diese Vektorbündel sind dann genau die minimalen Garben in der Äquivalenzklasse.

Bemerkungen:

(i) Ersetzt man in den obigen Sätzen 3.1 bis 3.14 die reflexive Garbe F durch einen Twist einer Idealgarbe I_{C}(h) (dabei ist C ⊂ IP^{3} ein rein 1-dimensionales Unterschema ohne eingebettete Punkte (insbesondere lokal Cohen-Macaulay)), so gelten dieselben Sätze (s. [14]) mit folgenden Modifikationen:

1. In der Definition der Biliaisonklasse wird auch ein Shift des Kohomologiemoduls zugelassen (d.h. die Äquivalenzklassen werden vergröbert).

2. An die Stelle der χ-Funktion tritt die q-Funktion, definiert durch

q_{E}^{#}(n) = \{ \begin{matrix}l_{E}(n) : & n ≤ T_{E} \\ inf\{α_{n}(E) − 1, β_{n}(E)\} : & n > T_{E} \end{matrix}

Offenbar gilt (s. Definition 3.8): q^{#}(n) ≥ χ^{#}(n_{0}) + 1 für alle n ∈ ZZ.

3. Die Ordnung auf den Schichten ist bereits durch den Shift h des Kohomologiemoduls gegeben.

(ii) Obwohl sich die Methoden übertragen lassen, sind direkte Zusammenhänge zwischen den jeweiligen Biliaisonschichten nicht ohne weiteres herzustellen, da nicht klar ist, wann ein globaler Schnitt einer reflexiven Garbe eine Nullstellenmenge der Kodimension 2 hat.

4 Beschreibung der geeigneten Paare

In diesem Abschnitt sollen die Bedingungen des Satzes 3.10 konkreter gefaßt werden. Ziel ist die Beschreibung der von der minimalen, durch gegebenen Garbe ausgehenden möglichen Biliaisonschritte allein in Termen von Invarianten von N_{0} (d.h. des Moduls).

Lemma 4.1 Mit den Bezeichnungen von Abschnitt 3 gilt: Sei n_{0} > R_{N_{0}}, dann ist

⨁_{n≤n_{0}} O(−n)^{χ(n)} ⊕ O(−R_{N_{0}} − 1) ≅ ⨁_{n≤n_{0}} O(−n)^{q(n)}

(dabei sei q die am Schluß des vorigen Abschnitts definierte Funktion).

Beweis: Die Sequenz

0 ⟶ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{q(n)} ⟶ N_{0} ⟶ I_{C}(h) ⟶ 0

beschreibt eine Familie von minimale Kurven mit dem Kohomologiemodul M (s. [14]). Für eine Kurve C aus dieser Familie hat die gibt es für einen geeigneten Twist der kanonischen Garbe ω_{C}(l + 4) einen Schnitt ξ ∈ H^{0}ω_{C}(l) ≅ Ext^{2}(O_{C}, O(l)) ≅ Ext^{1}(I_{C}, O(l)), der ω_{C}(l + 4) bis auf endlich viele Punkte erzeugt. ξ definiert nun wie in Satz 2.16 eine zu C assoziierte reflexive Garbe F, d.h. wir haben die Sequenz

0 ⟶ O(l) ⟶ F ⟶ I_{C} ⟶ 0

Daher ist H_{∗}^{1}F(h) = H_{∗}^{1}I(h), und wir haben eine N_{0}-Auflösung von F(h)

0 ⟶ A ⟶ N_{0} ⊕ D ⟶ F(h) ⟶ 0

Da Ext^{1}(A, O(l + h)) = 0, haben wir (Schlangenlemma) eine N_{0}-Darstellung von I_{C}(h) der Form

0 ⟶ A ⊕ O(l + h) ⟶ N_{0} ⊕ D ⟶ F ⟶ 0

Da obige N_{0}-Auflösung eindeutig bis auf triviale Addition von Linienbündeln ist, gilt: (a + 1_{l+h} − d)^{#}(n) = q^{#}(n) für alle n ∈ ZZ, insbesondere für R_{N_{0}} < n_{0}: q^{#}(n_{0}) ≥ χ^{#}(n_{0}) + 1 ≥ χ^{#} + 1_{l+h}(n_{0}) ≥ (a + 1_{l+h} − d)^{#}(n_{0}) = q^{#}(n_{0}), also gilt überall Gleichheit, und l + h = −R_{N_{0}}. □

Korollar 4.2 Sei R_{N_{0}} < n_{0} ≤ T_{N_{0}}, dann ist

⨁_{n≤n_{0}} O(−n)^{χ(n)} ⊕ O(−R_{N_{0}} − 1) ≅ ⨁_{n≤n_{0}} O(−n)^{l_{2}(n)}

Beweis: Nach Definition von q (s. Bemerkung am Ende des Abschnitts 3) ist q(n) = l_{2}(n) für n ≤ T_{N_{0}}. Damit folgt die Behauptung aus dem vorigen Lemma.□

Lemma 4.3 Sei b > T_{N_{0}}. Dann ist für alle c < b in jeder Schicht der Biliaisonschritt vom Typ (b, c) durchführbar.

Beweis: Offenbar gelten die in Satz 3.10 geforderten Isomorphismen automatisch für n < c. Falls c ≤ n ≤ R_{N_{0}}, so ist der erste Teil der FO-Bedingung leer, der zweite Teil wird für durch den Summanden O(−c) erfüllt. Für T_{N_{0}} ≥ n > R_{N_{0}} ist der zweite Teil der (FO-Bedingung) ist nach Lemma 4.1 leer.□

Bemerkung: Die Menge {(b, c)|b > c und (b > T_{N_{0}} oder b = R_{N_{0}} + 1)} charakterisiert die möglichen von der minimalen Garbe ausgehenden Biliaisonschritte. In der Tat, wenn ein Biliaisonschritt vom Typ (b, c) durchfürbar ist, so muß wegen Minimalität b > c sein; wenn nun b ≤ T_{N_{0}}, so muß im Fall b > R_{N_{0}} wegen des zweiten Teils der FO-Bedingung für n = b und Lemma 4.1 gelten: O(−b) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)} ist direkter Summand von O(−c) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)} ⊕ O(−R_{N_{0}} − 1), d.h. gdw. b = R_{N_{0}} + 1. Im Fall b ≤ R_{N_{0}} ist der erste Teil der FO-Bedingung für n=b nicht erfüllbar: O(−b) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)} ≅ O̸(−c) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)}.

Satz 4.4 Seien m ∈ IN, B = {b_{1}, …, b_{m}} ⊂ IN, C = {c_{1}, …, c_{m}} ⊂ IN − B mit b_{i} ≥ b_{i+1}, c_{i} ≥ c_{i+1}, b_{i} > c_{i} gegeben. Dann hat ein generischer Morphismus

f : ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}) ⟶ N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i})

einen reflexiven Kokern gdw. Fall 1: (1.1) für alle b_{i} ≤ R_{N_{0}} existieren j < k < i: b_{k} > b_{i},c_{j} < b_{i} und

(1.2) für alle b_{i} ≤ T_{N_{0}} existiert ein j < i: b_{j} > b_{i},c_{j} < b_{i} oder Fall 2: (2.1) b_{m} = R_{N_{0}} + 1, b_{m−1} > b_{m} und

(2.2) für alle R_{N_{0}} + 1 < b_{i} ≤ T_{N_{0}} existiert ein j < i: b_{j} > b_{i},c_{j} < b_{i}.

Beweis: Der Beweis erfolgt durch vollständige Induktion über m. Für m = 1 s. die Bemerkung nach Lemma 4.2. Seien jetzt B, C mit den obigen Eigenschaften gegeben, B′, C′ seien durch Hinzufügen von b (bzw. c) entstanden. Der Induktionschritt entspricht der Untersuchung der Durchführbarkeit eines elementaren Biliaisonschrittes vom Typ (b, c) in der durch B, C gegebenen Situation. Der Fall b > T_{N_{0}} ist durch Lemma 4.1 erledigt, sei also im folgenden b ≤ T_{N_{0}}. Seien nun die Bedingungen von Satz 4.3 erfüllt. Im Fall 1 folgt aus den Bedingungen (1.1), (1.2) sofort, daß die FO-Bedingung für alle n ≤ T_{N_{0}} leer ist. Im Fall 2 ist dies der Fall für alle n ≠ R_{N_{0}} + 1; für n = R_{N_{0}} + 1 tritt evtl. der zweite Teil der FO-Bedingung ein, der aber nach Lemma 4.1. erfüllt ist. Damit sind die Bedingungen hinreichend. Zur Notwendigkeit: Nach Induktionsvoraussetzung gelten die Bedingungen des Satzes für alle b_{i} ∈ B und übertragen sich daher auch auf die entsprechenden Einträge in B′. Wir unterscheiden jetzt:

a) T_{N_{0}} ≥ n ≥ R_{N_{0}} + 1 a1)Sei in der Induktionsvoraussetzung Fall 1 erfüllt, wegen a) gilt auch (1.1). Angenommen, b erfüllt in B′ nicht die Bedingung (1.2). Dann tritt für n = b der zweite Teil der FO-Bedingung in Kraft und erzwingt, daß O(−b) ⊕ ⨁_{b_{i}≤b} O(−b_{i}) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)}direkter Summand von O(−c) ⊕ ⨁_{c_{i}≤b} O(−c_{i}) ⊕ ⨁_{n≤b} O(−n)^{χ(n)} ⊕ O(−R_{N_{0}} − 1) ist. Da b_{i} ≠ c_{j}, ist das nur möglich, falls b = R_{N_{0}} +1 und b minimal in B′ ist. Damit ist aber Fall 2 erfüllt. a2) Sei in der Induktionsvoraussetzung Fall 2 erfüllt. Der zweite Teil der FO-Bedingung für n = R_{N_{0}} + 1 erzwingt dann b > R_{N_{0}} + 1. Angenommen, (2.2) sei verletzt, dann erzwingt die FO-Bedingung für n = b, daß O(−b) ⊕ ⨁_{b_{i}≤b,i≠m+1} O(−b_{i}) direkter Summand von O(−c) ⊕ ⨁_{c_{i}≤b} O(−c_{i}) im Widerspruch zu b, b_{i} ∉ C.

b) b ≤ R_{N_{0}} b1) Sei in der Induktionsvoraussetzung Fall 1 erfüllt. Wegen b) folgt (1.2) aus (1.1); nehmen wir also an, daß (1.1) verletzt ist. Für n = b erzwingt dann analog zu oben die FO-Bedingung wiederum b ∈ C, was ausgeschlossen ist. b2) In der Induktionsvoraussetzung kann Fall 2 nicht erfüllt gewesen sein, da dann in B′ gelten würde: b_{m+1} ≤ R_{N_{0}}, b_{m} = R_{N_{0}} + 1, was für n = R_{N_{0}} sofort wegen b ≠ c einen Widerspruch zur FO-Bedingung ergibt.□

Bemerkung: Durch Satz 4.4 ist eine vollständige Beschreibung der möglichen von der minimalen Garbe ausgehenden Biliaisonschritte (die nach Satz 3.15 alle Schichten ausschöpfen) allein in Termen von R_{N_{0}} und T_{N_{0}} gegeben (dagegen wird in der FO-Bedingung noch extensiv die χ-Funktion benutzt). Damit kann das Studium von Refl(N_{0}) in vielen Fällen auf das Studium der minimalen Garbe zurückgeführt werden.

Korollar 4.5 Sei F eine reflexive Garbe mit H^{1}(F) ≠ 0. Dann ist F von der minimalen Garbe aus in endlich vielen Biliaisonschritten des Typs (b_{i}, b_{i} − 1) mit b_{0} ≤ b_{1} ≤ ... ≤ b_{n} erreichbar.

Beweis: Seien B, C die oben zu F assoziierten Menge, die den Bedingungen von Satz 4.4 genügen. Wenn b_{m} = c_{m} + 1, so sei B′ = {b_{1}...b_{m−1}}, C′ = {c_{1}...c_{m−1}}: sonst B′ = B, C′ = {c_{1}...c_{m} + 1}. B′, C′ genügen den Bedingungen von Satz 4.4 (klar, alle Bedingungen sind schon für B, C erfüllt, entweder fallen einige weg (im Fall b_{m} = c_{m} + 1) oder sie sind weiter erfüllt (da b_{m} > c_{m} weiter erfüllt ist und in den anderen Bedingungen von Satz 4.4 c_{m} nicht auftaucht). Damit können B, C schrittweise zur leeren Menge reduziert werden. Der inverse Übergang von B′, C′ zu B, C wird durch den Biliaisonschritt (c_{m} + 1, c_{m}) beschrieben. Die Ordnungsrelation gilt nach Wahl von c_{m} (c_{m} war gerade das maximale Element aus C).□

Bemerkung (semistabile Ebenen): Für semistabile Garben F′ kann dieser elementare Biliaisonschritt (b, b−1) auch geometrisch als Umkehrung eines speziellen ”Reduktionsschrittes“ (siehe [9], [10]) aufgefaßt werden. Dies ist folgendermaßen zu verstehen:

1. Eine Ebene H ⊂ IP^{3} heißt unstabile Ebene für eine semistabile reflexive Rang 2 Garbe F, falls H^{2}F_{H}(r − 3) ≠ 0 für ein r > 0. Dies gibt uns (Serre-Dualität) eine Abbildung O_{H}(r) → F_{H}^{∨}(r). Nach Dualisieren und Davorschalten der Abbildung F → F_{H} → F_{H}^{∨∨} erhält man eine Folge

0 ⟶ F_{1} ⟶ F ⟶ I_{Z,H}(−r) ⟶ 0,

wobei F_{1} eine reflexive Garbe und I_{Z,H} Idealgarbe eines 0-dimensionalen Unterschemas von H ist. Diese Prozedur ermöglicht induktive Schlüsse über die zweite Chernklasse und wurde intensiv in [9], [10] benutzt. In ordnet sich die elementare Biliaison wie folgt ein:

Sei F′ aus einer semistabilen Garbe F durch einen Biliaisonschritt (b, b − 1) mit b ≥ R_{N_{0}} + 1 entstanden (dies sichert die Semistabilität von F′, siehe nächsten Abschnitt) und zusätzlich b ≥ b_{i} für alle b_{i}, die zu vorhergehenden Biliaisonschritten gehören (nach dem vorigen Korollar kann man sich auf diesen Fall beschränken). Betrachten wir die Abbildung H^{3}(ϕ(b − 5))^{∨} : S → S(1) (ϕ sei die Abbildung aus der N_{0}-Auflösung von F; die anderen Kohomologiegruppen verschwinden nach Voraussetzung der Semistabilität und über die b_{i}). Diese Abbildung gibt uns eine Linearform f (d.h. eine Ebene H), und nach Konstruktion haben wir in der langen Kohomologiefolge zu

0 ⟶ F(b − 5) ⟶^{f} F(b − 4) ⟶ F_{H}(b − 4) ⟶ 0

H^{2}(F(b − 4)) ≠ 0 (Folge um N_{0}-Auflösungen ergänzen, Diagrammjagd), d.h. die so konstruierte Ebene H ist eine unstabile Ebene für F′. Der Reduktionsschritt liefert wieder F, das zugehörige 0-dimensionale Unterschema W ⊂ H hat die Länge b^{2} + c_{1}b + b^{2} und entspricht genau den durch die Biliaison ”hinzukommenden“ nicht lokal freien Punkten (vgl. Formel für c_{3} in 3.16).

5 Biliaisonklassen und Stabilität

Durch die in Abschnitt 4 beschriebenen Biliaisonschritte können nun mit Hilfe des Kriteriums 2.13 die (semi-)stabilen Garben innerhalb einer Biliaisonklasse beschrieben werden.

Lemma 5.1 Die (Semi-)stabilität ist invariant innerhalb einer Biliaisonschicht).

Beweis: Klar nach Lemma 2.13 und Satz 3.13 (Chernklassen und H^{0}F sind invariant in einer Biliaisonschicht).□

Bemerkung: In diesem Sinne wird kann im folgenden von (semi-)stabilen Biliaisonschichten gesprochen werden.

Lemma 5.2 Seien m ∈ IN, B = {b_{1}, …, b_{m}} ⊂ IN, C = {c_{1}, …, c_{m}} ⊂ IN − B mit b_{i} ≥ b_{i+1}, c_{i} ≥ c_{i+1}, b_{i} > c_{i} so gegeben, daß die Bedingungen des Satzes 4.4 erfüllt sind.

Die durch

0 ⟶ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}) ⟶ N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i}) ⟶ F ⟶ 0

gegebene Biliaisonschicht enthält nur (semi-)stabile reflexive Garben F, wenn gilt: 2 min{c_{1}, …, c_{n}, R_{N_{0}} + 1} + c_{1}F > (≥)0.

Beweis: Klar nach Lemma 2.13 und Definition 3.8.: R_{N_{0}} + 1 ist gerade der minimale Twist,für den ⨁_{n∈ZZ} S(−n)^{χ(n)} ⟶ H^{0}N_{0} nicht mehr surjektiv ist (für kleinere Twists ist es ein Isomorphismus). Da außerdem c_{i} < b_{i} für alle i, trägt eventuell noch der minimale c-Anteil etwas zu H^{0}F bei. □

Bemerkung: Damit sind alle (semi-)stabilen reflexiven Garben innerhalb einer Biliaisonklasse in Termen von R_{N_{0}} und T_{N_{0}} relativ zur minimalen Garbe charakterisiert. Für die minimale Garbe ergibt sich insbesondere:

Korollar 5.3 Sei M ≠ 0 S-Modul endlicher Länge, dann sind die minimalen Garben der zugehörigen Biliaisonschicht (semi-)stabil gdw. 2R_{N_{0}} + 1 + ∑_{n∈ZZ}(l_{1} − l_{0} − χ)(n) > ≥0

Korollar 5.4 In jeder Biliaisonklasse existiert eine stabile reflexive Garbe.

Beweis: Sei R_{N_{0}} + 1 + c_{1,N_{0}}^{min} ≤ 0 (sonst sind schon die minimalen Garben stabil). Nach Lemma 4.2. ist ausgehend von der minimalen Schicht die elementare Biliaison vom Typ (max{−c_{1,N_{0}}^{min}, T_{N_{0}}} + 1, R_{N_{0}} + 1) möglich; die enstandene Schicht erfüllt nach 3.16 die Bedingung von Lemma 5.2 □

Bemerkung:

1. Offenbar ist die (Semi-)stabilität weder invariant unter aufsteigender noch unter absteigender Biliaison (von einer unstabilen Garbe kommt man analog zur eben beschriebenen Prozedur aufsteigend zu einer stabilen, andererseits führt die aufsteigende Biliaison mit (T_{N_{0}} + 1,c) für hinreichend kleines c zu einer unstabilen Garbe).

2. Weiterhin existiert wenn auch keine minimale (semi-)stabile Garbe in dem Sinne, daß alle anderen (semi-)stabilen Garben in der Biliaisonklasse durch aufsteigende Biliaison von ihr aus erreicht werden können (es sei denn, die minimalen Garben sind schon (semi)stabil): Seien die minimale Garben nicht (semi-)stabil, so führt die Konstruktion im Beweis von Korollar 5.3 zu einer stabilen Garbe mit minimaler erster Chernklasse. Man kann jedoch zu auch andere stabile Schichten mit derselben ersten Chernklasse erzeugen, z.B. durch die elementare Biliaison vom Typ (max{−c_{1,N_{0}}^{min}, T_{N_{0}}} + 1 + h, R_{N_{0}} + 1) + h,h > 0 oder durch −2R_{N_{0}} + 1 − c_{1,N_{0}}^{min}-malige Durchführung des elementaren Biliaisonschrittes (T_{N_{0}} + 1, T_{N_{0}}). Dabei hängt es außerdem noch von den genauen Werten von T_{N_{0}}, R_{N_{0}} und c_{1,N_{0}}^{min} ab, welche der so entstandenen c_{1}-minimalen stabilen Garben c_{3}-minimal ist.

6 GEOMETRISCHE KONSTRUKTION DES SPEKTRUMS EINER REFLEXIVEN GARBE18

6 Geometrische Konstruktion des Spektrums einer reflexiven Garbe

Bei dem Studium von H_{∗}^{1}(F) erhält man eine erste Übersicht über die Numerik des Moduls durch das Spektrum der reflexiven Garbe. Diese numerische Charakter wurde zuerst in [3] von Barth und Elencwajg für Vektorbündel konstruiert; für die Verallgemeinerung in [9] auf reflexive Garben über IP_{k}^{3}, char k bel. mußte jedoch auf die dort gegebene anschauliche geometrische Beschreibung verzichtet werden. Die Voraussetzung char k=0 ermöglicht jedoch, wie im folgenden zu sehen sein wird, durch Anwendung des Satzes von Grauert-Mülich die Übertragung der Konstruktion von Barth und Elencwajg auf den reflexiven Fall.

Satz und Definition 6.1 Sei F eine normierte semistabile reflexive Garbe auf dem IPC^{3} , L ⊆ IPC^{3} eine allgemeine Gerade. Es sei IPC^{1} ⊂ IPC^{3} eine Gerade disjunkt mit L, dann ist

P̂ = {(x, e) ∈ IPC^{3} × IPC^{1} |x ∈ Ebene(e, L)} ⊂^{i} IPC^{3} × IPC^{1}

die Aufblasung von IPC^{3} in L. Es seien q = p_{2} ∘ i, p = p_{1} ∘ i (dabei bezeichne p_{i} die Projektion von IPC^{3} × IPC^{1} auf den i-ten Faktor). Dann ist H_{1} := R^{1}q_{∗}p^{∗}F(−1) ein Vektorbündel auf IPC^{1} vom Rang c_{2}(F) =d.

Beweis: Nach Korollar können wir L so wählen, daß F_{L} ≅ O ⊕ O (c_{1}(F) = 0) bzw. F_{L} ≅ O⊕O(−1) (c_{1}(F) = −1). Insbesondere ist p^{∗}F in einer Umgebung des exzeptionellen Divisors lokal frei, und da p außerhalb von p^{−1}L ein Isomorphismus ist, ist p^{∗}F nach Lemma 2.5 eine reflexive Garbe auf P̂. q ist ein eigentlicher, dominanter Morphismus. Wir untersuchen nun das Verhalten von q_{∗} auf den Fasern q^{−1}(e) = H_{e}=Ebene durch e und L: Da nach Voraussetzung H^{0}(F_{|L}(−i)) = 0 für alle i ≥ 1, gilt wegen der langen Kohomologiefolge der Sequenz

(∗) 0 ⟶ F_{|H_{e}}(−i − 1) ⟶ F_{|H_{e}}(−i) ⟶ F_{|L}(−i) ⟶ 0

H^{0}(F_{|H_{e}}(−i − 1)) ≅ H^{0}(F_{|H_{e}}(−i)) für alle i ≥ 1 und somit = 0. Weiter erhält man aus der Sequenz (*) durch Anwenden des Hom(−, O_{H_{e}})-Funktors :

0 → Hom(F_{|L}(1), O_{H_{e}}) = 0 ⟶ F_{H_{e}}^{∨}(−1) ⟶ F_{H_{e}}^{∨} ⟶ Ext^{1}(F_{|L}(1), O_{H_{e}}) = F_{|L}^{∨} → 0

(^{∨} bezieht sich hier auf die Einschränkung auf H !). Da aber F_{|L}^{∨} = O ⊕ O (bzw. O ⊕ O(1)) gilt auch H^{0}(F_{H_{e}}^{∨}(i)) = 0 (i ≤ c_{1}(F) − 1). Die Garben F_{|H_{e}} sind stets torsionsfrei (nicht lokal freie Punkte haben Kodimension ≥ 2), insbesondere gilt (Serre-Dualität): H^{2}(F_{H_{e}}(−1)) ≅ H^{0}(F_{H_{e}}^{∨}(−2))′ = 0 für alle e ∈ IP^{1}. Damit haben die Fasern von R^{1}q_{∗}F(−1) den konstanten Rang

h^{1}(F(−1)) = −χ(F(−1)) = −(\binom{c_{1}}{2} + 1 − (c_{2} + 1 − c_{1})) = c_{2}(F) (Riemann-Roch auf H_{e}).

Da H^{2} auf den Fasern verschwindet, ist R^{1}q_{∗}p^{∗}F(−1) = 0, daher ist H_{1} ein Vektorbündel vom Rang h^{1}(F(−1)) = c_{2}(F). □

Proposition 6.2 H_{1} = ⨁ O_{IP}_{1}(n)^{k(n)}, und es gilt:

(i) h^{0}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{1}(IP^{3}, F(i)) für i ≤ −1 (ii) h^{1}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{2}(IP^{3}, F(i)) für i ≥ −2 (c_{1} = 0) bzw. i ≥ −1 (c_{1} = −1) (iii) ∑_{n∈ZZ} k(n) = c_{2}, −2 ∑_{n∈ZZ} nk(n) = c_{3} (c_{1} = 0) bzw. = c_{3} + c_{2} (c_{1} = −1)

Beweis: Nach dem Satz von Grothendieck zerfällt jedes Vektorbündel auf dem IP^{1} in eine Summe von Linienbündeln, d.h. H_{1} =: ⨁ O_{IP}_{1}(n)^{k(n)} .

(i) Wir betrachten die Spektralsequenz

H^{r}(IP^{1}, H_{i}) ⇒ H^{r+s}(P̂, p^{∗}F(−i)), H_{i} = R^{s}q_{∗}p^{∗}F(−i).

In Satz 4.1 hatten wir gesehen: R^{0}q_{∗}p^{∗}F(−i)) = 0 für i ≥ 1, R^{2}q_{∗}p^{∗}(F(−i)) = 0 für i ≤ c_{1} + 2. Daher entartet die Spektralsequenz zu den Isomorphismen

H^{0}(IP^{1}, H_{i}) ≅ H^{1}(P̂, p^{∗}F(−i)) (i ≥ 1) und H^{1}(IP^{1}, H_{i}) ≅ H^{2}(P̂, p^{∗}F(−i)) (i ≤ c_{1}+2).

Für den exzeptionellen Divisor E = p^{−1}L auf P̂ haben wir die Auflösung

0 ⟶ OP̂(p_{1}^{∗}O(−1), p_{2}^{∗}O(1)) ⟶ OP̂ ⟶ O_{E} ⟶ 0

und daraus nach Anwendung von T or(−, p^{∗}(F(−i)) ⊗ p_{2}^{∗}O(−1)):

0 ⟶ p^{∗}(F(−i − 1) ⟶ p^{∗}(F(−i)) ⊗ p_{2}^{∗}O(−1) ⟶ p^{∗}(F(−i)) ⊗ p_{2}^{∗}O(−1)_{|E} ⟶ 0

Die lange exakte Sequenz des direkten Bildes liefert:

(∗) h^{0}(F(−i)_{|L})O_{IP}_{1}(−1) ⟶ H_{i+1} ⟶ H_{i}(−1) ⟶ h^{1}(F(−i)_{|L})O_{IP}_{1}(−1)

Für i ≥ 1,r ≥ 0 hat man daher

0 ⟶ H_{i+1}(−r) ⟶ H_{i}(−r − 1) ⟶ h^{1}(F(−i)_{|L}O_{IP}_{1}(−r − 1)

und daher für die globalen Schnitte: H^{0}(H_{i+1}(−r)) ≅ H^{0}(H_{i}(−r − 1)) (r ≥ 0). Zusammenfassend gilt also: H^{1}(P̂, p^{∗}F(−1)) ≅ H^{0}(H_{i}) ≅ H^{0}(H_{1}(−i + 1)) Weiterhin gilt H^{r}(P̂, p^{∗}F(−i)) ≅ H^{r}(IP^{3}, F(−i) (Aufblasung) und somit die Behauptung (i). (ii) Analog zum Beweis von (i) hat man die Sequenz (*) und somit für i ≤ 1,r ≤ 0

h^{0}(F(−i)_{|L}O_{IP}_{1}(−1 − r) ⟶ H_{i+1}(−r) ⟶ H_{i}(−r − 1) ⟶ 0

Das Ende der langen exakten Kohomologiesequenz liefert nun H^{1}(H_{i+1}(−r)) ≅ H^{1}(H_{i}(−r −1)) (r ≤ 0), was mit Induktion wie in (i) die Isomorphismen H^{2}(IP^{3}, F(−i)) ≅ H^{2}(P̂, p^{∗}F(−i)) ≅ H^{1}(H_{i}) ≅ H^{1}(H_{1}(−i + 1)) (i ≤ 1) ergibt. (iii) Die erste Gleichung ist klar wegen rk H_{1} = c_{2}. Die zweite erhält man unter Verwendung des Satzes von Riemann-Roch auf dem IP^{3} und dem IP^{1} und von rkH_{1} = c_{2}:

c_{3} + c_{1}c_{2} = 2χ(F(−2 − c_{1})) = 2(h^{2}(F(−2 − c_{1})) − h^{1}(F(−2 − c_{1}))) =^{(1)(2)}

2(h^{1}(H_{1}(−1−c_{1}))−h^{0}(H_{1}(−1−c_{1}))) =^{RR auf IP^{1}} 2(−c_{1}H_{1}+c_{1}rkH_{1}) = 2(− ∑_{n∈ZZ} nk(n)+c_{1}c_{2}).

□ Korollar 6.3 Mit den obigen Bezeichnungen gilt:

(i) Sei F semistabil, c_{1}(F) = 0. Dann gilt:

(1) h^{0}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{1}(IP^{3}, F(i)) − h^{0}(IP^{3}, F(i)) + \frac{1}{3}(i + 1)(i + 2)(i + 3) für i ≥ −2.

(2) h^{1}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{2}(IP^{3}, F(i)) − h^{3}(IP^{3}, F(i)) − \frac{1}{3}(i + 1)(i + 2)(i + 3) für i ≤ −1. (ii) Sei F semistabil, c_{1}(F) = −1. Dann gilt:

(1) h^{0}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{1}(IP^{3}, F(i)) − h^{0}(IP^{3}, F(i)) + \frac{1}{6}(i + 1)(i + 2)(2i + 3) für i ≥ −1.

(2) h^{1}(IP^{1}, H_{1}(i + 1)) = h^{2}(IP^{3}, F(i)) − h^{3}(IP^{3}, F(i)) − \frac{1}{3}(i + 1)(i + 2)(2i + 3) für i ≤ −1. Insbesondere erweitert die Formel in 5.2.(ii) auf i = −3 (c_{1} = 0) bzw. i = −2 (c_{1} = −1).

Beweis: Folgt aus Satz von Riemann-Roch, Semistabilität sowie 5.2.(i)(ii)(iii).□

Korollar 6.4 Durch die Gleichungen in Satz 5.2.sind die Zahlen k(n) für alle n ∈ ZZ eindeutig bestimmt, insbesondere gilt:

k(n) = ∂^{2}h^{1}(F(−n − 1) (n ≥ 0) und k(n) = ∂^{2}h^{2}(F(−n − 3) (n ≤ c_{1}F)

Daher stammt das hier konstruierte Spektrum numerisch mit dem in [9] von Hartshorne konstruiertem Spektrum überein.

Beweis: Klar. □

Insbesondere gelten auch die dort angegebenen Struktursätze:

Satz 6.5 Sei {k(n) : n ∈ ZZ} das Spektrum einer normierten semistabilen Garbe F.

(i) Wenn k(n) > 0 für n > 0, dann k(m) > 0 für alle 1 ≤ m ≤ n. (ii) Wenn k(n) > 0 für n < −1, dann k(m) > 0 für alle −1 ≥ m ≥ n. (iii) Sei F stabil. Wenn k(n) > 0 für n > 0, dann k(m) > 0 für alle 0 ≤ m ≤ n. (iv) Sei F stabil. Wenn k(n) > 0 für n < 0, dann k(m) > 0 für alle −1 ≤ m ≤ n. Wenn c_{1}F = 0, dann ist auch entweder k(0) > 0 oder k(−1) > 1.

Beweis:[9] □

Satz 6.6 Sei {k(n) : n ∈ ZZ} das Spektrum einer normierten semistabilen Garbe F. Wenn k(n) = 1 für ein n ≤ −2 (oder, wenn c_{1}F = 0 und F stabil, für ein n ≤ −1), dann gilt für alle m ≤ n mit k(m) ≠ 0: k(m) = 1.

Beweis:[10] □

7 Biliaison, Spektrum und Monaden

Das Spektrum liefert bei fixierten Chernklassen c_{1}, c_{2}, c_{3} eine erste (grobe) Stratifikation des Modulraums M(c_{1}, c_{2}, c_{3}). Offenbar erreicht man durch die Fixierung des ersten Kohomologiemoduls eine genauere Unterteilung, die z.B. im Falle der minimalen Garben eine echte Verfeinerung der Spektralstratifikation ist. Dies gilt allerdings nicht unbedingt für andere (semi-)stabile reflexive Garben: Bei fixierten Chernklassen und fixiertem erstem Kohomologiemodul können verschiedene Spektra auftreten, die (wie im folgenden zu sehen ist) genau den möglichen Biliaisonschichten entsprechen. Auf der anderen Seite ist für c_{3} = 0 (d.h. für Vektorbündel) seit langem die Darstellung als Kohomologie einer Monade (s. z.B. [1] für Methoden der Konstruktion möglicher Monaden zu einem gegebenen Spektrum). Die Beschreibung durch die N_{0}-Darstellung liefert ebenfalls eine Monade für eine allgemeine reflexive Garbe; dabei geht jedoch die duale Struktur verloren (was sich ja bereits im Verlust der Symmetrie bei der Konstruktion des Spektrums zeigt); daher schlägt der Versuch einer zum Vektorbündelfall analogen GIT-Konstruktion fehl. Desweiteren determiniert die Monade nicht unbedingt die Modulstruktur, die entsprechende Stratifikation ist daher i.a. gröber. Wie wir jedoch im letzten Abschnitt sehen werden, stimmen für kleine zweite Chernklassen beide Stratifikationen oft überein, und speziell für Vektorbündel liefern die Eigenschaften der Monade Eigenschaften des H_{∗}^{1}-Moduls.

7.1 Spektrum und N_{0}-Darstellung

Proposition 7.1 Seien B, C zulässige Mengen einer normierten semistabilen Biliaisonschicht

0 ⟶ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}) ⟶ N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i}) ⟶ F ⟶ 0

(d.h. Lemma 5.2 sei erfüllt) und seien b, c die durch ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}) = ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{b(n)} bzw. ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i}) = ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{c(n)} definierten Funktionen. Dann ist das in Abschnitt 6 konstruierte Spektrum (charakterisiert durch die Zahlen k(n) und nach 3.13, 6.4 invariant der semistabilen Biliaisonschicht) gegeben durch

k(n) = ∑_{l≤−n−1}(−n − l)(l_{0}(l) − l_{1}(l) + l_{2}(l)) (n ≥ 0)

k(n) = ∑_{l≥1−n}(n + l)(l_{0}(l) − l_{1}(l) − c(l) + χ(l) + b(l)) (n ≤ c_{1}F)

Beweis: Die lange exakte Kohomologiesequenz der N_{0}-Auflösung sowie die Definition von N_{0} (3.1) liefern die Formeln für H^{1,2}(F(n)). Die Formeln folgen dann direkt nach 6.4 (sowie χ(l) = l_{2}(l) für l ≤ −1), da h^{0}F(n) für n ≤ −1 bzw. h^{3}F(n) für n ≥ −3 − c_{1}F verschwindet. □

Korollar 7.2 Innerhalb einer Biliaisonklasse determiniert ein (zulässiges) Spektrum eine semistabile Biliaisonschicht.

Beweis: l_{0}, l_{1}(l), χ(l) sind in der Biliaisonklasse fixiert. Wegen der Semistabilität gilt nach 5.2: b(l) = c(l) = 0 für l ≤ k − 1. Daher treten in der zweiten Formel alle in Frage kommenden b_{i}, c_{i} auf. Da außerdem b_{i} ≠ c_{j} ist für bel. i,j, kann man durch Anwendung von ∂^{2} auf die zweite Formel die Mengen B, C erhalten. □

7.2 Monaden und N_{0}-Darstellung

Die in Abschnitt 3 angegebenen charakterisierenden Sequenzen können als eine Art erweiterte Monadenbeschreibung für die reflexiven Garben aufgefaßt werden. Bekanntlich wurden Monaden zuerst von Horrocks [11] eingeführt und von Barth [2] zur Beschreibung von Moduli von Vektorbündeln auf dem IP^{2} benutzt.

Definition 7.3 (Monade) Eine Monade sei ein Komplex

A ⟶^{a} B ⟶^{c} C

von Vektorbündeln mit c ∘ a = 0, a injektiv mit reflexivem Kokern, sowie c surjektiv. Die reflexive Garbe F=ker c/im a wird als Kohomologie der Monade bezeichnet.

Bemerkung:

1. Im Gegensatz zur üblichen Definition wird hier nicht gefordert, daß im a ein Unterbündel von B ist. Damit muß die Kohomologie kein Bündel mehr sein.

2. Eine Monade hat ein sogenanntes Display:

[figure: 0; 0; 0; A; ker c; F; 0; 0; A; B; coker a; 0; C; C; 0; 0; id; a; c; id]

Proposition 7.4 Jede reflexive Garbe F auf dem IP^{3} ist Kohomologie einer Monade, in der A, B, C freie Garben sind.

Beweis: Abschnitt 3 liefert eine Darstellung als Kohomologie der Monade

⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}) ⟶^{i∘ϕ} L_{1} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i}) ⟶^{σ_{1},0} L_{0}

□ Definition 7.5 Eine Monade von Linienbündeln heiße minimal, wenn

(i) kein direkter Linienbündelsummand von C Bild eines Linienbündelsummanden von B ist und (ii) kein direkter Linienbündelsummand von A auf einen Linienbündelsummanden von B abbildet.

Korollar 7.6 Mit obigen Bezeichnungen gilt:

(i) Die in 8.3 beschriebene Monade ist minimal. (ii) Eine minimale Monade für eine reflexive Garbe F ist eindeutig bis auf Isomorphie von Komplexen.

Beweis: (i) ergibt sich aus Minimalität der Auflösung, der Konstruktion der χ-Funktion und der Konstruktion der elementaren Biliaisonschritte. Sei nun in (ii) eine minimale Monade A →^{a} B →^{c} C für F gegeben. Durch Betrachtung der langen exakten Kohomologiefolge für die Sequenzen im Display erhält man sofort H_{∗}^{1}(ker c) = H_{∗}^{1}F, H_{∗}^{2}(ker c) = 0. Damit ist ([11], bzw. vgl. Satz 3.2) ker c ≅ N_{0} ⨁_{i=1}^{k} L_{i} (L_{i} Linienbündel). Damit ist die erste Zeile im Display eine N_{0}-Darstellung und wegen der vorausgesetzten Minimalität der Monade (Bedingung (ii)) auch eine N_{0}-Auflösung. Daher liftet nach 3.2. der Isomorphismus zu einem Isomorphismus von Folgen. Die lange exakte Kohomologiefolge der linken Spalte des Displays liefert eine Auflösung von H_{∗}^{1}N_{0} = H_{∗}^{1}F, minimal als Auflösung wegen Bedingung (ii). Damit stimmen alle Bündel in den Monaden überein, und die Abbildungen lassen sich (wegen der bekannten Eindeutigkeitseigenschaften der N_{0}-Auflösung von F bzw. der Auflösung H_{∗}^{1}F auf das Display (also auch auf die Monade) fortsetzen. □

Bemerkung: Für Vektorbündel folgt dies aus dem allgemeineren Sachverhalt, daß jeder Morphismus des Kohomologiebündels einen (bis auf Homotopie eindeutigen) Morphismus der Monaden induziert (man tensoriere die Monade mit der dualen Monade und betrachte die entstehenden Homomorphiegruppen). Dies ist für allgemeine reflexive Garben nicht mehr richtig, insbesondere ergibt der Begriff ”duale Monade “ keinen Sinn (im a muß kein Unterbündel von B sein !). Damit können auch die entsprechenden Strata nicht (wie im Vektorbündelfall) als GIT-Quotienten beschrieben werden.

Am Ende dieses Abschnittes geben wir noch einige Folgerungen für Vektorbündel:

Lemma 7.7 Sei F ein Vektorbündel vom Rang 2 auf dem IP^{3}. (i) Sei A →^{a} B →^{c} C eine minimale Monade für F. Ein Isomorphismus f : F(c_{1})^{∨} → F setzt sich fort zu einem Isomorphismus zu der dualen Monade (getwisted mit c_{1}). Insbesondere gilt A ≅ C^{∨}(c_{1}), B ≅ B^{∨}(c_{1}). (ii) Mit den obigen Bezeichnungen gilt konkreter für die minimale Monade: C ≅ L_{0}, B ≅ L_{1}, A ≅ L_{0}^{∨}(c_{1}), und es existiert ein Isomorphismus b : L_{1}^{∨}(c_{1}) → L_{1} so daß a = b ∘ c^{T} (c_{1}). (iii) Insbesondere liefert dies eine Darstellung von L_{0}^{∨}(c_{1}) als direkter Summand von L_{2}.

Beweis: (i) ist allgemein bekannt, s. z.B. [16]. (ii) ergibt sich aus (i), der Eindeutigkeit der Monade und 3.1. Für (iii) bemerken wir zunächst durch den Vergleich der Monade aus 7.4, daß m = 0 (das liefert im übrigen einen weiteren Beweis für 3.18) und daher L_{0}^{∨}(c_{1}) ≅ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)}. Durch Satz 3.10 ist damit L_{0}^{∨}(c_{1}) explizit als direkter Summand von L_{2} gegeben. □

Damit kann jetzt direkt ein Kriterium für Moduln von stabilen Vektorbündeln angegeben werden:

Satz 7.8 Sei M S-Modul endlicher Länge, L_{2} ⟶ L_{1}^{a}⟶^{c} L_{0} ⟶ M ⟶ 0 Anfang einer minimalen Auflösung von M.

(i) M = H_{∗}^{1}(F) für ein Vektorbündel F vom Rang 2 auf dem IP^{3} gdw.

(1) rk L_{1} = 2rkL_{0} + 2 und

(2) es existiert ein c_{1} ∈ ZZ, b : L_{1}^{∨}(c_{1}) →^{∼} L_{1}, so daß c ∘ b ∘ c^{T} (c_{1}) = 0. (ii) M = H_{∗}^{1}(F) für ein (semi-)stabiles Vektorbündel F vom Rang 2 auf dem IP^{3} gdw.

1. beide Bedingungen von (i) sind erfüllt, und

2. in der dann durch 7.7.(iii) gegebenen Zerlegung L_{2} ≅ L_{0}^{∨}(c_{1}) ⊕ L′_{2} besteht L′_{2} nur aus freien Summanden vom Grad < (≤)\frac{c_{1}}{2} . Äquivalent dazu ist die Bedingung, daß a_{≤− \frac{c_{1}}{2}} : L_{2,≤− \frac{c_{1}}{2}} → L_{1} bei Einschränkung auf Punkte den Rang nicht vermindert.

Beweis: Die Notwendigkeit von (i) ist in Satz 7.7 bewiesen. Umgekehrt erhält man aus einem Komplex L_{0}^{∨}(c_{1}) → L_{1} → L_{0} mit den obigen Bedingungen eine Monade (da M von endlicher Länge, ist der zu c gehörige Garbenmorphismus surjektiv, also auch der zu c^{T} ∘b gehörige injektiv). Die Kohomologie ist ein Vektorbündel (da M von endlicher Länge, liefert die erste Zeile des Displays zumindest, daß die Kohomologie eine reflexive Garbe vom Rang 2 ist, die Berechnung der Chernklassen aus der Monade ergibt dann c_{3} = 0). (ii) ist wieder die Anwendung der zuvor erhaltenen Ergebnisse über die χ-Funktion auf das Stabilitätskriterium 2.14. □

8 Stratifizierung des Modulraums

Maruyama [12][13] beweist die Existenz eines groben Modulraums M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) für torsionsfreie (Gieseker-) stabile Garben mit fixierten Chernklassen. Dies sichert uns auch für stabile Biliaisonschichten (d.h. für Garben mit fixierten Chernklassen, Spektrum und erstem Kohomologiemodul) die Existenz eines groben Modulraums, und wir erhalten damit eine Stratifizierung von M(c_{1}, c_{2}, c_{3}). Umgekehrt stellt sich die Frage, welche Strata bei fixierten Chernklassen in Frage kommen, um den Modulraum durch die Kollektion der genauer (z.B. durch N_{0} -Auflösungen) zu beschreibenden Strata aufzubauen.

Satz 8.1 Sei U ⊂ Hom(O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}), N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i})) die offene Menge, die die reflexiven Garben in der durch N_{0},B,C gegebenen Biliaisonschicht parametrisiert. Die Menge der Isomorphieklassen von reflexiven Garben in einer Biliaisonschicht ist gegeben als Quotient von U unter der Wirkung von

Aut((O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i})) × Aut(N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i})).

Wenn die Schicht stabil ist, so ist trägt dies die Struktur eines groben Modulraums als irreduzible Teilmenge von M(c_{1}, c_{2}, c_{3}).

Beweis: Auf IP^{3} ←^{p} IP^{3} ×U →^{q} U betrachten wir die universelle Abbildung p^{∗}(O(−n)^{χ(n)} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i})) → p^{∗}(N_{0} ⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i})). Der Kokern ist eine reflexive Garbe vom Rang 2, wobei auf jeder Faser von q^{−1}(u) die Abbildung gerade durch u gegeben wird. Die erste Aussage ist dann klar. Im stabilen Fall sind alle Fasern q^{−1} stabile reflexive Garben mit konstanten Chernklassen c_{1}, c_{2}, c_{3}. Dies liefert einen Morphismus ψ : U → M(c_{1}, c_{2}, c_{3}). Das Bild ist eine irreduzible Teilmenge von M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) (da U irreduzibel) und parametrisiert die Isomorphieklassen der Biliaisonschicht. □

Bemerkung: 1.Der offensichtliche Mangel dieser Beschreibung liegt darin, daß sie stark mengentheoretischer Natur ist. Für eine nähere Untersuchung der Strukturen (z.B. der Verklebung der verschiedenen Biliaisonschichten zu M(c_{1}, c_{2}, c_{3})) wäre es notwendig, die Theorie der Stacks heranzuziehen. Zunächst werden Chernklassen fixiert, dann das Spektrum. Die Geometrie der Untervarietäten von M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) mit fixierten Spektra in M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) kann über einem Hilbertschema zu O_{IP}_{1}(−c_{2} − 2)^{N} → H (H aus Abschnitt 6, N groß genug) studiert werden (die Abbildung ist durch die geometrische Konstruktion im Abschnitt 6 gegeben). Nach Fixierung des Spektrums wird die Stratifikation leicht verfeinert durch die Fixierung von h^{1}F(l) für l ≥ 0 (für l < 0 durch Spektrum gegeben; die endlich vielen Möglichkeiten für positive Twists sind durch eine Reihe von Resultaten beschränkt (s. z.B.

[7] bzw. 9.2)). Dann kann eine analoge Strategie wie in [14] verfolgt werden: Man konstruiert den Stack der Garben mit markierter H_{∗}^{1}-Modulstruktur und die Abbildungen in den Stack der Garben mit einerseits und den feinen Modulraum der Modulstrukturen andererseits (hierbei müssen wirklich die Strukturen der Moduln parametrisiert werden, da die Isomorphieklassen nicht einmal einen groben Modulraum bilden) sowie die sich ergebende Quotientenabbildung auf die Biliaisonschichten (d.h. den in 8.1. gegebenen Stack der Garben mit fixierter Isomorphieklasse des H_{∗}^{1}-Moduls und studiert diese Räume bezüglich dieser Abbildungen. Mit dieser Beschreibung kann man dann über die elementare Biliaison eine Beziehung zwischen verschiedenen Familien von Modulräumen mit unterschiedlichen Chernklassen erhalten (für eine explizite Beschreibung kann z.B. die Interpretation als Reduktionsschritt am Ende von Abschnitt 4 genutzt werden). In einigen Fällen erhält man Einbettungen der Moduli (s. Abschnitt 9 für Beispiele, in denen die Modulräume nur aus einer Biliaisonschicht bestehen).

2. Insbesondere kann durch die Beschreibung in 8.1 die Kompaktifizierung nicht gut erfaßt werden. Die torsionsfreien semistabilen Garben, die zur Kompaktifizierung von M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) gebraucht werden, sind i.a. nicht reflexiv (z.B. nicht einmal im Vektorbündelfall, da Reflexivität wegen der Konstanz der Chernklassen schon lokale Freiheit implizieren würde). Weiterhin muß die Kompaktifizierung als IP(Hom(O(−n)^{χ(n)}⊕⨁_{i=1}^{m} O(−b_{i}), N_{0}⊕ ⨁_{i=1}^{m} O(−c_{i})) nicht mit der üblichen übereinstimmen, auch wenn für stabile Garben der Modul konstant ist (s. z.B. M(0, 2, 4) in Abschnitt 9).

3. Zumindest für grobe Resultate über die entsprechenden Familien ist die obige Beschreibung jedoch nutzbar. Z.B. setzt sich die Irreduzibilität fort, falls M(c_{1}, c_{2}, c_{3}, α) nur aus einer Biliaisonschicht besteht (α ist die Atiyah-Invariante h^{1}(F(−2)) mod 2 zur Unterscheidung des topologischen Typs). Weiter kann aus 8.1 direkt die Dimension von M(k, M) berechnet werden:

dimM(k, M) = hom(A, N_{0}⊕D)−hom(A, A)−hom(N_{0}⊕D, N_{0}⊕D)+hom(N_{0}⊕D, A)+1

für eine N_{0}-Auflösung

0 ⟶ A ⟶ N_{0} ⊕ D ⟶ F ⟶ 0.

9 Anwendungen und Beispiele

9.1 Einige technische Vorbereitungen

Lemma 9.1 Sei F nicht ACM und minimal, dann gilt: min{l : h^{1}(F(l)) ≠ 0} + 2 ≤ min{l : h^{0}(F(l)}.

Beweis: Die Abschätzung gilt, wenn auf der rechten Seite die durch die Auflösung gegebene Funktion l_{2}(l) steht; also gilt sie erst recht für h^{0}(N_{0}(l)) und somit bei minimalen Garben auch für h^{0}(F(l). □ Bemerkung: Das Lemma ist zwar trivial, stellt jedoch im Fall von kleiner zweiter Chernklasse oft schon gutes technisches Hilfsmittel dar.

Lemma 9.2 Sei F stabil und normiert mit Chernklassen c_{1}, c_{2}, c_{3}. Dann gilt:

(i) Für alle l ≥ c_{2} − c_{1} − 1 folgt aus h^{1}(F(l − 1) ≠ 0: h^{1}(F(l − 1)) > h^{1}(F(l)). (ii)

h^{1}(F) = 0 für l ≥ \frac{1}{2}c_{2}^{2} − \frac{1}{2}(c_{1} − 1)c_{2} − 1 − \frac{1}{2}c_{3}.

Beweis: [7] □

Lemma 9.3 Sei M = M′′ ⊕ M′′ eine Zerlegung eines Moduls in eine direkte Summe, so daß die minimalen Garben F, F′, F′′ zu M, M′, M′′ semistabil sind. Dann gilt die Abschätzung c_{3}F ≥ c_{3}F′ + c_{3}F′′.

Beweis: Seien χ, χ′, χ′′ die assoziierten charakteristischen Funktionen für die minimalen Garben; c_{i}^{(|)(||)} := c_{i}F^{(|)(||)}. Die minimale Auflösung von M ist die direkte Summe der minimalen Auflösungen von M′, M′′. Damit gilt χ(n) = χ′(n) + χ′′(n) + 1_{a} + 1_{b} mit a, b ≥ max{R_{N′_{0}}, R_{N′′_{0}}} (man betrachte genau die Definition der χ -Funktion; bis max{R_{N′_{0}}, R_{N′′_{0}}} ist die Einschränkung des Ranges additiv, danach kommen aus Ranggründen noch zwei Summanden zu ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{χ(n)} dazu. Weiter erhält man aus der Auflösung R_{N_{0}} = min{R_{N′_{0}}, R_{N′′_{0}}}. Da wir für die Abschätzung o.B.d.A. F normieren können (die dritten Chernklassen bleiben invariant), ist diese Zahl außerdem ≥ 0 (s. 5.2); der weitere Beweis wird für c_{1} = 0 geführt (c_{1} = −1 verläuft analog mit etwas größerem technischen Aufwand). Die Berechnung der Chernklassen von F aus den zugehörigen Monaden heraus liefert chF = \frac{chF′chF′′}{(1−a)(1−b)}, d.h. explizit: c_{1} = c′_{1} + c′′_{1} + a + b = 0 c_{3} = c′_{3} +c′_{2}c′′_{1} +c′_{1}c′′_{2} +c′′_{3} +(a+b)(c′_{2} +c′_{1}c′′_{1} +c′′_{2})+(c′_{1} +c′′_{1})(a^{2} +ab+b^{2})+a^{3} +a^{2}b+ab^{2} +b^{3} Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite vereinfacht diese zu

c_{3} = c′_{3} + c′′_{3} + c′_{2}c′′_{1} + c′_{1}c′′_{2} − (c′_{1} + c′′_{1})(c′_{2} + c′′_{2} + c′_{1}c′′_{1} − ab).

a, b ≥ max{R_{N′_{0}}, R_{N′′_{0}}} ≥ min{R_{N′_{0}}, R_{N′′_{0}}} = R_{N_{0}} ≥ 0 (Semistabilität, s. 5.2), also erst

recht a+b = −c′_{1} −c′′_{1} ≥ 0; daher kann die Abschätzung ab ≤ \frac{(a+b)^{2}}{4} = \frac{(−c′_{1}−c′′_{1})^{2}}{4} eingesetzt werden, und man erhält schließlich nach Umformung

c_{3} ≥ c′_{3} + c′′_{3} + \frac{c′_{1}}{4} (c_{1}^{′2} − 4c′_{2}) + \frac{c′′_{1}}{4} (c_{1}^{′′2} − 4c′′_{2}) − \frac{3}{4}(c_{1}^{′2}c′′_{1} + c′_{1}c_{1}^{′′2}).

Die erneute Anwendung von 5.2, diesmal auf F′, F′′, liefert zusammen mit den oben festgestellten Ungleichungen c′_{1}, c′′_{1} ≤ 0, und die Ungleichung 4c_{2} ≥ c_{1}^{2} für semistabile reflexive Garben folgt z.B aus 2.15 (Semistabilität der Einschränkung auf eine generische Ebene) und dem bekannten analogen Ergebnis für Vektorbündel auf dem IP^{2}. □

Bemerkung: Wenn weiter unten auf dieses Lemma Bezug genommen wird (i.a. um eine Zerlegung eines Moduls in direkte Summanden auszuschließen), kommt meist bei der (ausgelassenen) Rechnung die letzte (schärfere) Ungleichung zum Tragen, auch wenn das nicht explizit erwähnt wird.

9.2 Beispiele

Wir geben zunächst die klassischen Beispiele (z.B. [19], [15]) von Moduln mit einem Erzeuger sowie von Buchsbaum-Moduln an. Danach wird eine Klassifikation für extreme Spektra sowie für niedrige zweite Chernklasse gegeben.

Notation: Oft wird im folgenden zur Verkürzung der Schreibweise H^{i}(l) := H^{i}(F(l)) gesetzt, wenn die Garbe aus dem Zusammenhang klar ist.

Beipiel 9.4 (Moduln mit einem Erzeuger) Sei f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3} eine reguläre Folge in m mit n_{i} := degf_{i}. Sei o.B.d.A. n_{0} ≤ n_{1} ≤ n_{2} ≤ n_{3}; v := n_{0} + n_{1} + n_{2} + n_{3}. Dann ist eine minimale freie Auflösung von M = S/(f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3}) durch den Koszulkomplex gegeben:

0 → S(−v) → ⨁_{i=0}^{3} S(n_{i} − v) → ⨁_{i<j} S(−n_{i} − n_{j}) →^{σ_{2}} ⨁_{i=0}^{3} S(−n_{i}) ⟶^{f_{0},f_{1},f_{2},f_{3}} S → M → 0

N_{0} = ker(⨁_{i=0}^{3} O(−n_{i}) → O) ist ein Vektorbündel vom Rang 3. Genauere Betrachtung der Matrix σ_{2} ergibt R_{N_{0}} = n_{0} + n_{1} − 1, T_{N_{0}} = n_{0} + n_{2} − 1 sowie χ_{N_{0}} = 1_{μ} mit μ = max(n_{0} + n_{3}, n_{1} + n_{2}). Die minimalen Garben F der zu M gehörenden Biliaisonklasse sind daher Kokern eines generischen Morphismus O(μ) → N_{0}, die zugehörige Monade hat die Form O(μ) → ⨁_{i=0}^{3} O(−n_{i}) → O. Anwendung von 7.8. bzw. 5.2 ergibt: F ist Vektorbündel gdw. n_{0} + n_{3} = n_{1} + n_{2}, und (semi-)stabil gdw.

min(2n_{0} + n_{1} − n_{2}, n_{0} + 2n_{1} − n_{3}) (≥)^{>} 0.

Beipiel 9.5 (Nullkorrelationsbündel) Sei M = k, d.h. wir betrachten den Spezialfall f_{i} = x_{i} in 9.4. N_{0} = ker(O(−1)^{4} ⟶^{x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}} O) = Ω_{IP}_{3}, R_{N_{0}} = T_{N_{0}} = 1, μ = 2. Überprüfung der Bedingungen aus dem vorigen Beispiel liefert, daß die minimalen Garben stabile Vektorbündel sind. In der Tat gibt uns die entsprechende Auflösung (⊗O(1))

0 ⟶ O(−1) ⟶ Ω_{IP}_{3}(1) ⟶ F ⟶ 0,

daß diese Bündel genau die Nullkorrellationbündel sind. Bekanntlich sind das alle Bündel aus M(0, 1, 0) (das einzig mögliche Spektrum ist {0} (6.2 (iii)), d.h. h^{1}F(−1) = 1 (6.2 (i)), und h^{1}F(l) = 0 für l ≠ −1 wegen Spektrum (l < −1) bzw. RR, 9.1 und 9.2). Die Folge gibt die bekannte Beschreibung als Hom(O(−1), Ω(1))/k^{∗}) ≅ IP^{5} \ G(1, 3).

Bemerkung:

1. Dies entspricht im Kurvenfall der Klasse von zwei windschiefen Geraden, die ausführlich in [14] studiert wird.

2. Der allgemeine Fall vo Vektorbündeln mit H^{1}F(−2) = 0 ist der berühmte, viel untersuchte Fall der Instantonbündel. Nach 6.2 muß das Spektrum die Form {0^{n}} haben, und es existieren keine strikt semistabilen Instantons (9.1). Die Beilinsonspektralfolge liefert eine Beschreibung als Kohomologie der Monade O(−1)^{n} → O^{2n+2} → O(1)^{n}, und sie bilden eine 8n − 3-dimensionale Familie. Für kleine n ist H^{0}F(1) ≠ 0, d.h. die Instantons sind genau die zu n + 1 windschiefen Geraden über 2.17 assoziierten Bündel. Die H_{∗}^{1}-Moduln (Kokern von S^{2n+2} →^{c} S(1)^{n}, c wie in 7.8) sind für n ≥ 2 nicht länger konstant, es gilt sogar: Für n ≥ 4 ist jede Biliaisonschicht eines Instantonbündels F mit c_{2}F = n nulldimensional (besteht also wegen der Irreduzibilität nur aus dem Bündel selbt), d.h. die Klassifikation der Intantonbündel ist äquivalent zur Klassifikation der auftretenden H_{∗}^{1}-Moduln (Berechnung mit der Formel am Schluß von Abschnitt 8).

Definition 9.6 Ein S-Modul M endlicher Länge heißt Buchsbaum-Modul, falls die multiplikative Struktur trivial ist.

Beipiel 9.7 (Buchsbaum-Moduln) Sei M Buchsbaum, also M ≅ ⨁_{n∈ZZ} k(−n)^{l(n)}. Die Auflösung von M ist die direkte Summe der Auflösungen für k, daher ist (s.9.5) N_{0} ≅ ⨁_{n∈ZZ} l(n)Ω_{IP}_{3}(n), und man erhält χ(n + 2) = 3l(n) − 2_{min{m|l(m)≠0}}. Überprüfung von 5.2. ergibt die Stabilität der minimalen Garben für beliebige Funktionen l : ZZ → IN (l nicht identisch 0). Weiterhin zeigt die induktive Anwendung von 9.3, daß die Nullkorrellationsbündel die einzigen Vektorbündel sind, die als minimale Garben solcher Moduln auftreten (d.h. für l(n_{0}) = 1, sonst = 0).

Beipiel 9.8 (Vektorbündel mit Spektrum (−n + 1, …, 0, …, n − 1)) :

Satz 9.9 Sei F ∈ M(0, 2n − 1, 0) ein stabiles Vektorbündel mit dem Spektrum (−n + 1, …, 0, …, n − 1), n ≥ 1. Dann hat H_{∗}^{1}F(n) genau einen Erzeuger und ist vom Typ (1, n, n, 2n − 1) aus 9.4, d.h., F ist Kokern eines generischen Morphismus

0 ⟶ O(−n) ⟶ N_{0} ⟶ F ⟶ 0, N_{0} ≅ ker(O(n−1)⊕O^{2}⊕O(−n+1) ⟶^{x_{0},x_{1}^{n},x_{2}^{n},x_{3}^{2n−1}} O(n).

Diese Familie ist irreduzibel und hat Dimension 5 für n = 1, und 3n^{2} + 4n + 1 für n ≥ 2.

Beweis: 6.2 liefert h^{1}F(−n + l) = \binom{l+3}{3} für 0 ≤ l ≤ n − 1. Insbesondere ist damit l_{0}(n) = 1, l_{1}(n−1) ≥ 1. Angenommen l_{1}(n−1) > 1, dann ist geben die zwei Linearformen (o.B.d.A x_{0}, x_{1}) eine Syzygie in L_{2} vom Grad n − 2, und die zugehörige Spalte der Matrix hat die Form (0, …, x_{1}, −x_{0}, …, 0)^{T}, und bei Einschränkung auf {x_{0} = x_{1} = 0} vermindert sich der Rang. Dies gibt einen Schnitt von F(−n + 1) im Widerspruch zur Stabilität für n ≥ 2, also l_{1}(n − 1) = 1, und nach den Formeln aus 7.1 ist daher l_{0}(n − 1) = 0. Analog schließt man induktiv (mit einer Linarform und einer Form vom Grad k anstelle von zwei Linearformen), daß l_{0}(k) =^{7.1} l_{1}(k) = 0 für −n + 2 ≤ k ≤ −1. Wegen der Symmetrie (7.7) bleibt daher für die Auflösung nur L_{1} = S(−n) ⊕ S^{2} ⊕ S(n), d.h. der Modul ist von der behaupteten Form. Die Dimensionszählung kann entweder über die Bemerkung am Ende von Abschnitt 8 erfolgen, oder man wendet einfacher die bekannte Formel für die Monade an:

dimM = hom(B, C) − h^{0}(Λ^{2}C) − dim Gl(C) − h^{0}(S^{2}B)

(s. [4]). □

Beipiel 9.10 (reflexive Garben mit den Spektra (−n, …, −1) und (−n + 1, …, −2, −1^{2})) Sei F ∈ M(−1, n, n^{2}) (n ≥ 1) bzw. M(0, n, n^{2}−n+2) (n ≥ 2) eine stabile reflexive Garbe. Nach 6,2, 6.3 muß dann das Spektrum die Form (−n, …, −1) bzw. (−n + 1, …, −2, −1^{2}) haben. Wir wollen zeigen: F ist dann ACM (d.h. H_{∗}^{1}F = 0) und gegeben durch die exakte Folge

0 ⟶ O(−n − 1) ⟶ O(−n) ⊕ O(−1)^{2} ⟶ F ⟶ 0

bzw.

0 ⟶ O(−n) ⊕ O(−2) ⟶ O(−n + 1) ⊕ O(−1)^{3} ⟶ F ⟶ 0.

Sei zunächst im ersten Fall n = 1. Aus 6.2 folgt H^{1}(l) = 0 für l ≤ −1, H^{2}(l) = 0 für l ≥ −1. RR liefert daher h^{0}(1) ≠ 0, und nach 9.1 ist damit F entweder ACM oder nichtminimal. Nach 4.2, 4.5 müßte im Falle der Nichtminimalität aber der elementare Biliaisonschritt (1, 2) durchführbar sein, was auf O(−1)^{2} führt (Berechnung der Chernklassen mit 3.16 liefert (-2,1,0)), eine Garbe ohne erste Kohomologie. Das Verschwinden der ersten Kohomologie wird nun induktiv mit demselben Argument gezeigt: Das Spektrum liefert direkt das Verschwinden für Twists ≤ −1. Nach Berechnung von h^{2}(1) durch das Spektrum und zeigt RR h^{0}(1) ≠ 0 für beide Typen von Garben. Unter der Annahme, daß die Garbe nicht ACM ist, liefert 9.1 die Nichtminimalität und 4.2, 4.5 die Existenz einer absteigenden Biliaison vom Typ (1, 2). Berechnung der Chernklassen führt darauf, daß die erhaltene Garbe dann vom jeweils anderen Typ ist, (stabil nach Anwendung von Kriterium 2.14 oder 4.2), und mit kleinerer zweiter Chernklasse, falls vom 2.Typ. Damit kann alles sukzessive auf den oben betrachteten Fall (Typ 1, n = 1) zurückgeführt werden. Da nun ”ACM“ bekannt ist, können mit 6.2 und RR alle Kohomologiedimensionen berechnet werden. Die Form der charakterisierenden Folgen ergibt sich dann aus einer Betrachtung der möglichen Strukturen des Moduls (H_{∗}^{2})^{∗}(−4), ähnlich der Überlegung im vorigen Beispiel. Dimensionszählung ergibt für den ersten Typ 3 für n = 1, n^{2} + 3n + 1 für n ≥ 2. Für den zweiten Typ ergibt sich Dimension 13 für n = 2, 21 für n = 3, und n^{2} + 2n + 5 für n ≥ 4.

Es sollte noch bemerkt werden, daß für echt semistabile Garben vom zweiten Typ diese Argumentation fehlschlägt. Der Grund ist, daß Anwendung von 4.2, 4.5. nur die Existenz einer Biliaison vom Typ (0,1) sichert. Die sich ergebenden Garben können aber durchaus nicht ACM sein: Z.B. ist durch

0 ⟶ O(−2)^{2} ⟶ Ω ⊕ O ⟶ F ⟶ 0

eine Familie von semistabilen Garben mit Spektrum −1^{2} gegeben, die durch elementare Biliaison aus dem Nullkorrelationsbündel entsteht.

Bemerkung: Die in den obigen Beispielen genutzten Techniken (kombiniert mit z.T. größerem rechnerischem Aufwand) reichen aus, um für kleine Chernklassen eine Beschreibung der möglichen Biliaisonschichten zu geben. Im folgenden werden nur die Ergebnisse angegeben, auf die (vergleichbaren, aber technischen und länglichen) Beweise der Vollständigkeit wird aber verzichtet.

Der Fall c_{2} = 1 ist durch 9.5 (für c_{1} = 0) und 9.10 (Typ 1 mit n = 1 für c_{1} = −1) vollständig gelöst. Wir beginnen mit c_{1} = −1, c_{2} = 2:

Beipiel 9.11 (M(−1, 2, c_{3}))

1. Sei c_{3} = 0 (⇒ Spektrum −1, 0). Dann hat H_{∗}^{1}F einen Erzeuger und ist vom Typ (1,1,2,2) aus 9.4.

2. Sei c_{3} = 2 (⇒ Spektrum −1^{2}). Dann ist F durch elementare Biliaison vom Typ (2,1) aus E(−1) mit E Nullkorrelationsbündel entstanden, d.h die Schicht hat die Form

0 ⟶ O(−2)^{2} ⟶ Ω ⊕ O(−1) ⟶ F ⟶ 0.

3. Sei c_{3} = 4 (⇒ Spektrum −2, −1). s. 9.10, Typ 1, n = 2.

Beipiel 9.12 (M(0, 2, c_{3}))

1. Sei c_{3} = 0 (⇒ Spektrum 0^{2}). Instantonbündel, gegeben durch 3 windschiefe Geraden (s.o).

2. Sei c_{3} = 2 (⇒ Spektrum −1, 0). Dann hat H_{∗}^{1}F einen Erzeuger und ist vom Typ (1,1,1,2) aus 9.4.

3. Sei c_{3} = 4 (⇒ Spektrum −1^{2}). s. 9.10 (Typ 2 mit n = 2).

Beipiel 9.13 (M(−1, 3, c_{3}))

1. Sei c_{3} = 1 (⇒ Spektrum −1^{2}, 0). Es gibt folgende Familien: 1.1 F ist minimal, H_{∗}^{1}F ≅ S/(x_{0}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{2}) (d.h. Modul hat einen Erzeuger, ist aber durch keine reguläre Folge gegeben). Die Betrachtung der Auflösung ergibt χ(2) = 2, sonst= 0; und daher die Folge

0 → O(−2)^{2} → N_{0} → F → 0 mit N_{0} ≅ ker(O(−1)^{4} ⊕ O ⟶^{x_{0},x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{3}^{2},x_{1}x_{2}} O(1)).

1.2 F ist minimal, H_{∗}^{1}F ≅ S/(x_{0}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{1}x_{2}, x_{1}x_{3}, x_{3}^{3}) (d.h. Modul hat einen Erzeuger, ist aber durch keine reguläre Folge gegeben). Die Betrachtung der Auflösung ergibt χ(2) = 3, sonst= 0; und daher die Folge

0 → O(−2)^{3} → N_{0} → F → 0 mit N_{0} ≅ ker(O⊕O(−1)^{4} ⊕O(−2) ⟶^{x_{0},x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{1}x_{2},x_{1}x_{3},x_{3}^{3}} O(1)).

1.3. N_{0} = ker(O^{2} ⊕ O(−1)^{4} \underrightarrow{( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} & f_{0} & f_{1} & f_{2} & f_{3} \\ 0 & 0 & x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{matrix} )} O(1) ⊕ O) mit f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3} vom

Grad 2 so, daß erste Zeile der Matrix eine reguläre Folge der Länge 4 enthält. Die Auflösung liefert dann χ(2) = 2, =0 sonst; daher ist (mit diesem N_{0}) F durch die Folge

0 → O(−2)^{2} → N_{0} → F → 0

gegeben.

2. Sei c_{3} = 3, Spektrum −2, −1, 0. H_{∗}^{1}F hat einen Erzeuger und ist vom Typ (1,1,2,3) aus 9.4.

3. Sei c_{3} = 3, Spektrum −1^{3}. Es gibt folgende Familien: 3.1. Biliaison vom Typ (2,1) von E(−1), E Instantonbündel mit c_{2} = 2. 3.2. F minimal, gegeben durch Folge

0 → O(−2)^{3} → N_{0} → F → 0 mit N_{0} ≅ ker(O(−1)^{7} →^{c} O^{2}),

wobei

c = ( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{matrix} ) .

3. Sei c_{3} = 5 (⇒ Spektrum −2, −1^{2}). Es gibt drei Familien: 4.1 Biliaison vom Typ (3,2) von E(−1), E Nullkorrelationsbündel; d.h. Schicht

0 ⟶ O(−3) ⟶ Ω ⟶ F ⟶ 0.

4.2. Biliaison vom Typ (2,1) der Schicht mit (0,2,2), d.h.

0 ⟶ O(−3) ⊕ O(−2) ⟶ O(−1) ⊕ N_{0} ⟶ F ⟶ 0

wobei N_{0} zum Typ (1,1,1,2) aus 9.4. gehört. 4.3. Doppelte elementare Biliaison vom Typ (2,1) der Schicht (-3,4,0) (entspricht (-1,2,0), d.h.

0 ⟶ O(−3) ⊕ O(−2)^{2} ⟶ O(−1)^{2} ⊕ N_{0} ⟶ F ⟶ 0

wobei N_{0} zum Typ (1,1,2,2) aus 9.4. gehört.

5. Sei c_{3} = 7 (⇒ Spektrum −2^{2}, −1). F ist ACM und gegeben durch

0 ⟶ O(−3)^{2} ⟶ O(−2)^{3} ⊕ O(−1) ⟶ F ⟶ 0.

6. Sei c_{3} = 9 (⇒ Spektrum −3, −2, −1). s. 9.10, Typ 1, n = 3.

Beipiel 9.14 (M(0, 3, c_{3}))

1. c_{3} = 0, Spektrum 0^{3} ⇒ Instantons.

2. c_{3} = 0, Spektrum −1, 0, 1. Siehe 9.8 mit n = 1.

3. c_{3} = 2 (⇒ Spektrum −1, 0^{2}). Es gibt zwei Typen von Familien:

3.1. 0 → O(−2) → N_{0} → F → 0 mit N_{0} ≅ ker(O^{5} \underrightarrow{( \begin{matrix}x_{0} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & 0 \\ 0 & f_{0} & f_{1} & f_{2} & f_{3} \end{matrix} )} O(1)^{2}).

mit einer regulären Folge f_{0}, f_{1}, f_{2}, f_{3} von Linearformen. 3.2. H_{∗}^{1}F ≅ (S/(x_{0}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{2}))^{∗}. Auflösung kann durch Dualisieren der Auflösung des dualen Moduls berechnet werden, es ergibt sich χ(2) = 1, χ(1) = 2, sonst = 0. Damit ergibt sich die Folge

0 → O(−2) ⊕ O(−1)^{2} → N_{0} → F → 0 mit N_{0} ≅ ker(O(−1)^{2} ⊕ O^{5} ⟶^{c} O(1)^{2}),

wobei

c = ( \begin{matrix}x_{1}^{2} & 0 & x_{2} & 0 & x_{1} & x_{0} & 0 \\ 0 & x_{2}^{2} & 0 & x_{1} & x_{2} & 0 & x_{0} \end{matrix} ) .

4. c_{3} = 4 (⇒ Spektrum −1^{2}, 0). Es gibt drei Familien: 4.1. Biliaison von Typ (2,1) aus stabiler Garbe mit Chernklassen (-1,2,0), d.h.

0 ⟶ O(−2)^{2} ⟶ O(−1) ⊕ N_{0} ⟶ F ⟶ 0 mit N_{0} ≅ ker(O^{2} ⊕ O(−1)^{2} ⟶^{x_{0},x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{2}} O(1))

4.2. H_{∗}^{1}F ≅ S/(x_{0}, x_{1}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}, x_{2}x_{3}). F ist minimal, Betrachtung der Auflösung liefert χ(3) = 2, =0 sonst, damit eine Darstellung

0 ⟶ O(−3)^{2} ⟶ N_{0} ⟶ F ⟶ 0 mit N_{0} ≅ ker(O(−1)^{3} ⊕ O^{2} ⟶^{x_{0},x_{1},x_{2}^{2},x_{3}^{2},x_{2}x_{3}} O(1)).

4.3. H_{∗}^{1}F ≅ (S/(x_{0}, x_{1}, x_{2}^{2}, x_{2}x_{3}, x_{3}^{3}))^{∗} ≅ (x_{0}^{2}, x_{0}x_{1}^{2})/(x_{0}^{3}, x_{0}^{2}x_{2}, x_{0}^{2}x_{3}, x_{0}x_{1}^{2}x_{2}, x_{0}x_{1}^{2}x_{3}, x_{0}x_{1}^{3}). F ist minimal zu diesem Modul und beschrieben durch eine Monade

O(−2)^{2} ⟶ O(−1)^{3} ⊕ O^{3} ⟶ O ⊕ O(1).

5. c_{3} = 6, Spektrum −1^{3}. F entsteht stets durch doppelte elementare Biliaison vom Typ (2, 1) aus E(−1) mit E Nullkorrelationsbündel, d.h.

0 ⟶ O(−2)^{3} ⟶ O(−1)^{2} ⊕ Ω ⟶ F ⟶ 0

6. c_{3} = 6, Spektrum −2, −1, 0. H_{∗}^{1}F hat einen Erzeuger und ist vom Typ (1,1,1,3) aus 9.4.

7. c_{3} = 8 (⇒ Spektrum −2, −1^{2}). Siehe 9.10, Typ 2 mit n = 3.

Allgemein kann festgestellt werden, daß die Kohomologiemoduln für extreme reflexive Garben (d.h. mit großer dritter Chernklasse) sowie für extreme Spektra (Spektraleinträge von großem Betrag) deutlich einfacher strukturiert sind und daher die angeführten Methoden sich in diesen Fällen besonders gut anwenden lassen.

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Erklärung

Ich erkläre, daß ich vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der aufgeführten Literatur und Hilfsmittel angefertigt habe.

(Olaf Teschke)

Berlin, 26. September 2005

Thesen

1. Das Problem der Klassifizierung von reflexiven Garben F vom Rang 2 auf dem IP_{k}^{3} führt zum Studium der Invariante M := ⨁_{n∈ZZ} H^{1}F(l). Die durch diese Invariante gegebenen Äquivalenzklassen (”Biliaisonklassen“) von reflexiven Garben entsprechen einerseits den Isomorphieklassen von k[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}]-Moduln endlicher Länge, andererseits den stabilen Äquivalenzklassen von Vektorbündeln N_{0} auf dem IP_{k}^{3} mit verschwindender zweiter graduierter Kohomologie.

2. Bei der Untersuchung der Struktur einer Biliaisonklasse können die Garben durch eine sogenannte ”N_{0}-Auflösung“ der Form

0 ⟶ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{a(n)} ⟶^{ϕ} N_{0} ⊕ ⨁_{n∈ZZ} O(−n)^{d(n)} ⟶ F ⟶ 0

dargestellt werden. Die Funktion ∑_{l≤n}(a(l)−d(l)) definiert eine Halbordnung in der Biliaisonklasse, für die im Falle M ≠ 0 die ”Lazarsfeld-Rao-Eigenschaft“ erfüllt ist:

• Für zwei beliebige minimale Garben F, F′ gibt es eine Deformation mit konstanter Kohomologie von F nach F′ durch minimale Garben.

• Von einer gegebenen minimalen Garbe F aus kann eine beliebige Garbe calF′ in der Biliaisonklasse durch eine endliche Zahl von ”elementaren Biliaisonschritten“ und eine anschließende Deformation mit konstanter Kohomologie konstruiert werden.

3. Für die umgekehrte Fragestellung, welche Funktionen a, d für eine solche Darstellung in Frage kommen, erhält man eine vollständige technische Beschreibung in Termen von zwei ganzzahligen Invarianten von M. Daraus läßt sich insbesondere ein Kriterium für die Stabilität von F ableiten. Als Folgerung erhält man die Existenz von stabilen Garben in jeder Biliaisonklasse sowie eine notwendige und hinreichende Bedingung an M für die Stabilität der minimalen Garbe.

4. Für semistabile reflexive Garben vom Rang 2 auf dem IPC^{3} kann auf geometrischem Wege das Spektrum von F konstruiert werden. Diese Invariante beschreibt die numerischen Eigenschaften von M zu einem großen Teil und ist eine Verallgemeinerung des bekannnten Spektrums für Vektorbündel. Innerhalb einer Biliaisonklasse charakterisiert das Spektrum eindeutig die N_{0}-Auflösung für eine semistabile Garbe F.

5. Ausgehend von der N_{0}-Auflösung kann jede reflexive Garbe als Kohomologie einer Monade von Summen von Linienbündeln beschrieben werden. Die Monade ist selbstdual (bis auf einen Twist) genau dann, wenn die Garbe ein Vektorbündel ist. Die lokale Freiheit der reflexiven Garbe und Stabilität von Vektorbündeln lassen sich durch die Auflösung von M eindeutig charakterisieren.

6. Durch die Fixierung von Spektrum und erstem graduiertem Kohomologiemodul M ist eine Stratifizierung des groben Modulraums M(c_{1}, c_{2}, c_{3}) von stabilen reflexiven Garben mit fixierten Chernklassen in irreduzible Strata gegeben.