M. RoczenVorlesung: Algebra II (Wintersemester 2005-2006) |
4 SWS VL pro Woche, Do 11.15 -12.45 Uhr (RUD 26, 1'304), Fr 11.15-12.45 Uhr (RUD 26, 1'304)
2 SWS UE pro Woche, Fr 13.15-14.45 Uhr (RUD 25, 3.008; jeweils nach Ankündigung im Rechnerraum RUD 25, 2.207)
Inhalt:
Gröbnerbasen und Diskriminanten (Anwendung in der Eliminationstheorie), Primärzerlegung, ganze Erweiterungen und
Normalisierung, Dimensionstheorie, Anfänge der homologischen Algebra
Einzelne Aufgaben erfordern die Verwendung eines Computeralgebrasystems
(hier vorzugsweise Singular); erforderliche Kenntnisse
werden in der Übung erarbeitet. Als Vorinformation eignet sich die kurze Einführung in [3], Abschnitt 2.6
"Symbolisches Rechnen"
Erwartet werden Kentnisse im Umfang der Vorlesungen Linearen Algebra I, II sowie Algebra I; die Veranstaltung kann auch parallel zur Algebra I besucht werden (ist allerdings für die betr. Hörer dann etwas aufwändig)
Literatur:
[1] Cox, D., Little, J., O'Shea, D.: Ideals, varieties, and algorithms
[2] Eisenbud, D.
Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry
[3] Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell (Online-Fassung) Band 1, ISBN 1-4116-2648-6
Fragen, Anregungen, Kritik:
Ihre Meinung ist uns wichtig, gern können Sie sich auch anonym
äußern. Besuchen Sie die
dafür eingerichtete
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Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu den Übungsaufgaben.
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Die Abgabe erfolgt jeweils vor der Übung am Freitag. Bitte vermerken Sie deutlich lesbar Ihren Namen,
die Aufgabenserie und Nr. (z.B. 1.3 für Aufgabe 3 der Serie 1).
Es werden generell Begründungen, Beweise bzw. ausführliche Rechnungen erwartet.
Kleine Studiengruppen dürfen ihre Lösungsblätter gemeinsam abgeben
(bitte alle Namen vermerken, maximal 3 Teilnehmer).
Korrigierte, nicht abgeholte Serien können Sie
während der Sprechzeiten im Sekretariat (Frau Dobers, RUD 26, Raum 1.402) erhalten.
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| Serie 1 zum 4.11.05 | Serie 2 zum 11.11.05 | Serie 3 zum 18.11.05 | Serie 4 zum 25.11.05 |
| Serie 5 zum 2.12.05 | Serie 6 zum 9.12.05 | Serie 7 zum 16.12.05 | Serie 8 zum 6.1.06 |
| Serie 9 zum 13.1.06 | Serie 10 zum 20.12.06 | Serie 11 zum 27.1.06 | Serie 12 zum 3.2.06 |
20.10.2005: Vorbesprechung
Einführung, Motivation; Zusammenstellung erforderlicher Grundlagen - ein vollständiges Skript ist nicht verfügbar, um wenigstens einige Grundlagen und konsensfähige Bezeichnungen zusammenzustellen, stehen hier einige Seiten zum Abschnitt "Kategorien" zur Verfügung.
Kategorien (volle Unterkategorien, duale Kategorie), Morphismen, erste Eigenschaften (Monomorphismen, Epimorphismen, Isomorphismen, initiale und terminale Objekte)
21.10.2005: Produkte, Koprodukte, kommutative Diagramme, Funktoren und natürliche Transformationen (Notizen zum Stoff)
27.10.2005: adjungierte Funktoren (Beispiel: Vektorraum mit gegebener Menge als Basis und Vergiß-Funktor)
Ringe, Homomorphieprinzip, erste Eigenschaften von Idealen (z.T. Wiederholung von Grundlagen): von einer Menge erzeugtes Ideal, Summe und Produkt von Idealen, komaximale Ideale
28.10.2005: weitere Rechenregeln für Ideale, Existenz von Maximalidealen, Primideale, Radikal eines Ideals, Radikal als Durchschnitt von Primidealen (Ergänzung: Adjungierte Funktoren)
3.11.2005: Primärideale, noethersche Ringe, Existenz von Primärzerlegungen in noetherschen Ringen; Quotientenring nach einem multiplikativ abgeschlossenen System
4.11.2005: Universaleigenschaft der Quotientenringe; Hilbertscher Basissatz; die Kategorie der Moduln über einem Ring
10.11.2005: R-Moduln: Homomorphismen, Untermoduln, lineare Hülle, direkte Summen, Basen freier Moduln, Rang eines freien Moduls
11.11.2005: exakte Folgen, Präsentationen von Moduln, Kerne und Kokerne (Universaleigenschaft), noethersche Moduln über noetherschen Ringen, Existenz endlicher Präsentationen
17.11.2005: Quotientenfunktor zu einem multiplikativ abgeschlossenen System (Exaktheit); Primärzerlegung in noetherschen Ringen, erster Teil: Existenz einer unverkürzbaren Primärzerlegung
18.11.2005: Eindeutigkeit der assoziierten Primideale und Beschreibung als Annulatoren von Elementen des Faktorrings, Anwendung der Primärzerlegung auf Potenzprodukte von Primelementen eines Integritätsbereichs (einige Notizen), Beispiel einer Primärzerlegung im Polynomring
24.11.2005: Ideale, deren Radikal maximal ist, sind primär; assoziierte Primideale als Idealquotienten, Charakterisierung faktorieller Ringe (auch als Vorbereitung der Aufgabe 5.3), "prime avoidance"
25.11.2005: Eindeutigkeit isolierter Primärkomponenten; assoziierte Primideale für endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen, Kompositionsreihen
1.12.2005: Rechenregeln für Nullstellenmengen von Idealen; monomiale Ideale: erste Eigenschaften, Reste, Beschreibung der Vektorraumstruktur des Faktorringes, Dickson's Lemma
2.12.2005: Charakterisierung von Monomordnungen, Beispiele (lexikographische Ordnung und graduiert invers-lexikographische Ordnung als spezielle Matrixordnungen); erste Eigenschaften der Leitmonome von Polynomen
8.12.2005: Reste und speziell erzeugbare Polynome, Divisionsalgorithmus, Leitideal eines Ideals bezüglich einer Monomordnung, Existenz von Gröbnerbasen, Beispiele; Charakterisierung von Gröbnerbasen
9.12.2005: Church-Rosser Eigenschaft, Faktorring und Vektorraum der Reste, konstruktive Prüfung der Idealmitgliedschaft, Hauptsatz: Eine endliche Familie von Polynomen ist genau dann Gröbnerbasis, wenn die zugehörigen S-Polynome speziell erzeugbar sind.
15.12.2005: Buchberger-Kriterium und Buchberger-Algorithmus (mit Varianten), Spezialfälle (u.a. lineare Gleichungssysteme), reduzierte Gröbnerbasen (Existenz und Eindeutigkeit bezüglich einer gegebenen Monomordnung); konstruktive Überprüfung der Gleichheit von Idealen
16.12.2005: Gröbnerbasen von Eliminationsidealen (bezüglich der lex-Ordnung), Liftungssatz (Beweis folgt später), Hilbertscher Nullstellensatz
5.1.2006: algebraische Teilmengen des affinen Raumes, Zariski-Abschluss der Projektionen als Nullstellenmenge der Eliminationsideale (Eliminationssatz, Anwendung des Liftungssatzes); Resultante
6.1.2006: erste Eigenschaften der Resultante, Faktorialität des Polynomringes in n Unbestimmten, Existenz gemeinsamer irreduzibler Faktoren zweier Polynome
12.1.2006: multipolynomiale Resultante und Beweis des Liftungssatzes (allgemeiner Fall); polynomiale Gleichungssysteme mit endlich vielen Lösungen
13.1.2006: Abschätzung für die Anzahl der Nullstellen, Prüfung der Radikaleigenschaft und konstruktive Bestimmung des Radikals eines Ideals;
Hier findet sich überdies eine Beispielrechnung zur Bestimmung der Lösungsmenge eines Gleichungssystemes mit Singular:
Teil 1, Teil 2, Teil 3, Teil 4;
einige Eigenschaften endlich erzeugter Moduln; ganze Erweiterungen von Ringen
19.1.2006: ganzer Abschluss als Unterring, Urbilder von Maximalidealen, Aufstiegs- und Abstiegsproblem für ganze Ringerweiterungen
20.1.2006: einige Vorbereitungen (Primideale der Lokalisierung, surjektive Modulhomomorphismen und Lokalisierung), Beweis des Aufstiegssatzes, ganze Erweiterung eines Ideals
26.1.2006: normale Ringe, Beweis des Abstiegssatzes; erste Eigenschaften artinscher Ringe
27.1.2006: Nullradikal in einem artinschen Ring, Charakterisierung artinscher Ringe als 0-dimensionale noethersche Ringe; artinsche lokale Ringe, artinsche Ringe sind Produkte endlich vieler artinscher lokaler Ringe
2.2.2006: Eindeutigkeit der Produktdarstellung, Moduln über artinschen Ringen; einige technische Eigenschaften lokaler Ringe; Läange eines Moduls, einfache Moduln
3.2.2006: Länge als additive Funktion; stabile Filtrierungen bezüglich eines Ideals; graduierte Ringe und Moduln
9.2.2006: Lemma von Artin-Rees, Krullscher Durchschnittssatz; additive Funktionen, Poincare-Reihe eines graduierten Moduls, Satz von Hilbert-Serre
10.2.2006: Hilbertfunktion und Hilbertpolynom, d(M/xM) für den Fall eines Nichtnullteilers x, Anwendung auf den zu einer Filtrierung gehörigen graduierten Modul
16.2.2006: Parametersysteme in einem noetherschen lokalen Ring, Höhe eines Primideals, Hauptsatz der Dimensionstheorie
17.2.2006: Nichtnullteiler und Dimension, Hauptidealsatz, algebraische Unabhängigkeit von Parametersystemen, Hauptidealsatz, reguläre lokale Ringe