Vorlesung Topologie I

4 Stunden Vorlesung + 2 Stunden Übung

Marc Kegel

Sommersemester 2019



Vorlesung: Dienstags 13:15-14:45 in Raum 0311 (RUD 26) und Freitags 11:00-13:00 in Raum 1.013 (RUD 25)
Veranstaltungsnummer: 3314409
Beginn: 09.04.2019

Übung: Dienstags 15:00-16:30 in Raum 1.013 (RUD 25)
Veranstaltungsnummer: 33144091
Beginn: 09.04.2019

Sprechstunde: Freitags im Anschluss an die Vorlesung wird eine extra Sprechstunde für internationale Studenten auf Englisch angeboten (in der aber natürlich auch alle anderen herzlich willkommen sind).

Korrektur der Übungsaufgaben (ab Blatt 4): Laurenz Upmeier zu Belzen (upmeibel at mathematik punkt hu minus berlin punkt de, Raum 1.312).



Ankündigungen:

Inhalt: Ein topologischer Raum ist eine Verallgemeinerung eines metrischen Raumes, indem man immer noch in größtmöglicher Allgemeinheit von stetigen Abbildungen sprechen kann. Wir werden uns zuerst kurz mit mengentheoretischer Topologie beschäftigen. Dabei werden Konstruktionsmethoden von topologischen Räumen eingeführt und Eigenschaften von diesen untersucht, die unter Homöomorphismen (bijektiven beidseitig stetigen Abbildungen) erhalten bleiben.

Der Rest der Vorlesung wird eine elementare Einführung in die Methoden und Ergebnisse der algebraischen Topologie geben. Dabei besteht die grundsätzliche Idee darin, topologische Räume zu unterscheiden, indem man ihnen algebraische Invarianten (Zahlen, Gruppen, ...) zuordnet, die man leichter unterscheiden kann. Wir werden uns dabei häufig auf die etwas einfachere, aber immer noch sehr allgemeine Situation einschränken, in welcher die Räume die kombinatorische Struktur eines Simplizialkomplexes tragen.

Ziel der Vorlesung ist insbesondere die Entwicklung der Fundamentalgruppe und der simplizialen Homologietheorie. Mit diesen Invarianten werden wir zum Beispiel einen vollständigen Beweis des Klassifikationssatzes für Flächen liefern. Wir werden aber von Anfang an auch Anwendungen aus anderen Bereichen in den Vordergrund stellen, zum Beispiel aus der geometrischen Topologie (Heegaard-Zerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten), aus der Differentialtopologie (Satz vom Igel), aus der Algebra (Fundamentalsatz der Algebra, jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei), aus der Analysis (Brouwerscher Fixpunktsatz), aus der Gastronomie (Schinken-Sandwich-Theorem) und der Meteorologie: Auf der Erde gibt es stets zwei antipodale Punkte, an denen die gleiche Temperatur und Luftfeuchtigkeit herrschen.

Voraussetzungen: Vorausgesetzt werden die Anfängervorlesungen (Analysis I, II und Lineare Algebra I, II), insbesondere erste topologische Grundbegriffe (offene Mengen, Stetigkeit, Kompaktheit) und elementare Algebra (Gruppen, Homomorphismen).

Klausur: Die Abschlußprüfung findet in Form einer schriftlichen Prüfung am Dienstag den 23.07.2019 von 9:00 bis 11:00 Uhr in Raum 0307 (RUD 26) statt. Zur Klausur müssen Sie sich bis zum 09.07.2019 anmelden.
Nachklausur: Die Nachklausur findet in Form einer schriftlichen Prüfung am Dienstag den 24.09.2019 von 9:00 bis 11:00 Uhr in Raum 0310 (RUD 26) statt. Zur Nachklausur müssen Sie sich bis zum 10.09.2019 anmelden.
Kriterium für die Zulassung zur Abschlußprüfung: Mir wurde mitgeteilt, dass für diese Vorlesung Zulassungskriterien zur Abschlussprüfung nicht erlaubt sind. Trotzdem möchte ich Sie dazu ermutigen sich regelmäßig mit den Übungsaufgaben zu beschäftigen. Ich empfehle die Teilnahme an der Klausur, wenn mindestens 50% der Übungsaufgaben sinnvoll bearbeitet wurden.
Wie man sinnvoll ein Übungsblatt bearbeitet, wird zum Beispiel sehr gut von Prof. Manfred Lehn auf seiner Homepage erklärt. Insbesondere ist das Plagiieren einer fremden Lösung keine sinnvolle Bearbeitung einer Aufgabe.



Übungsblätter:
Übungsblatt 0 (pdf)
Übungsblatt 1 (pdf)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf)
Übungsblatt 7 (pdf)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Übungsblatt 13 (pdf)

Die Übungsblätter müssen immer Freitags vor der Vorlesung abgegeben werden und werden in der darauffolgenden Woche in der Übung korrigiert zurückgegeben und besprochen. Von Abgaben in Gruppen wird abgeraten. Verspätete Abgabe oder Abgabe per E-Mail ist leider nicht möglich.


Inhaltsverzeichnis:

1. Überblick

2. Zusammenhang:
2.1. Definition des Zusammenhangs
2.2. Anwendungen

3. Konstruktion von topologischen Räumen:
3.1. Die Quotiententopologie
3.2. Kompaktheit und die Hausdorff-Eigenschaft
3.3. Zusammenschlagen eines Teilraumes
3.4. Zusammenkleben von Räumen
3.5. Topologische Gruppen und homogene Räume
3.6. Orbiträume

4. Homotopie und Fundamentalgruppe:
4.1. Homotope Abbildungen
4.2. Konstruktion der Fundamentalgruppe
4.3. Überlagerungen und Fundamentalgruppen
4.4. Homotopietyp
4.5. Endlich präsentierte Gruppen
4.6. Der Satz von Seifert und van Kampen
4.7. Anwendungen

5. Mannigfaltigkeiten:
5.1 Definitionen und erste Eigenschaften
5.2. Die verbundene Summe
5.3. Henkelzerlegungen
5.4. Die Klassifikation von Flächen
5.5. Heegaard-Zerlegungen

6. Simplizialkomplexe:
6.1. Triangulierungen
6.2. Die Baryzentrische Unterteilung
6.3. Die Euler-Charakteristik und die Hauptvermutung
6.4. Simpliziale Approximation
6.5. Der Brouwersche Fixpunktsatz

7. Simpliziale Homologie:
7.1. Definition der Homologiegruppen
7.2. Erste Berechnungen von Homologiegruppen
7.3. Kettenabbildungen
7.4. Topologische Invarianz der Homologie
7.5. Die Mayer-Vietoris-Sequenz

8. Abbildungsgrad, Lefschetz-Zahl und Euler-Charakteristik:
8.1. Der Abbildungsgrad
8.2. Homologie mit Koeffizienten
8.3. Die Euler-Poincare-Formel
8.4. Der Satz von Borsuk-Ulam
8.5. Der Fixpunktsatz von Lefschetz

Im Anschluss an diese Vorlesung wird im Wintersemester 2019/2020 die Vorlesung Topology II angeboten, in der wir CW-Komplexe untersuchen und uns mit höheren Homotopiegruppen, allgemeineren Homologietheorien und der Kohomologietheorie beschäftigen werden.

Vorlesungsmitschrift:

Frau Carolin Wengler hat sich die Mühe gemacht Ihre Vorlesungsmitschrift aus dem letzten Semester liebevoll mit LaTeX zu formatieren und mir diese freundlicherweise zur Verfügung gestellt. (Falls Sie Fehler finden, gerne auch nur kleinere Tippfehler, teilen Sie mir diese bitte mir, damit ich es verbessern kann.)

Frau Wenglers Vorlesungsmitschrift (pdf)


Literatur:

Diese Vorlesung wird sich an der Vorlesung von H. Geiges orientieren, welches am ehesten mit dem Buch von Armstrong übereinstimmt. Für mengentheoretische Topologie (d.h. Kapitel 1-3 und teilweise auch Kapitel 4) empfehle ich Ihnen auch das Buch von K. Jänich. In Kapitel 5 werde ich teilweise dem Artikel von H. Geiges folgen. Ein sehr beliebtes Lehrbuch zur (algebraischen) Topologie ist das Buch von A. Hatcher. Außerdem möchte ich Ihnen noch sehr die Vorlesungsskripte von S. Friedl und C. Wendl empfehlen.

M. Armstrong: Basic Topology, Springer, 1983.
S. Friedl: Skript zur algebraischen Topologie I-IV, erhältlich online auf seiner Homepage.
H. Geiges: Topologie, Vorlesung gehalten im WS 2009/10 an der Universität zu Köln.
H. Geiges: How to depict 5-dimensional manifolds, Jahresbericht der DMV, 2017.
A. Hatcher: Algebraic topology, erhältlich online auf seiner Homepage.
K. Jänich: Topologie, Springer, 1996.
C. Wendl: Skript zu Topologie I, erhältlich online auf seiner Homepage.






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