M. Roczen:

ALGEBRA I     (Sommersemester 2004)

Voraussetzungen:
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I, II

Inhalt: Struktur endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen, Anwendung auf die Klassifikation von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorräume, endliche Körpererweiterungen und Grundlagen der Galoistheorie.

Übungen: 2 SWS
UE 1: Mi 15.00 Uhr, RUD 25, 4.007
UE 2: Do 13.15 Uhr, RUD 25, 1.011

Literatur:
Artin, M.: Algebra
Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell

Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu Aufgaben, Klausuren, Prüfungen.

Klausurtermin: 23.6.04 (in der Vorlesungszeit); die Ergebnisse sind Bestandteil der Bewertung für den Übungsschein.

Nach der Klausur finden Sie hier Ihre persönlichen Aufgaben mit Lösungen (am Ende der betr. Datei, nummeriert nach Aufgabenexemplaren):
Aufgabe 1, 2 ( PS   PDF ), Aufgabe 3, 4 ( PS   PDF ), Aufgabe 5 ( PS   PDF )

Sie können den Ausdruck auch nach den Übungen einsehen, sobald die Korrekturen vorliegen.

Sie sollten sich an den unten angegebenen Stichpunkten zum "Stoff der Vorlesung" orientieren.

Auf wiederholte Anfrage folgen noch einige Hinweise zu den Vorkenntnissen:
Grundausbildung "Lineare Algebra I, II": Schwerpunkte zur Wiederholung.

14.7.2004:   Satz vom primitiven Element, Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie; Ausblick auf Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal sowie Lösbarkeit von Gleichungen durch Radikale.

7.7.2004:   Charakterisierung der Galoiserweiterungen als Zerfällungskörper separabler Polynome; perfekte Körper; Jordanzerlegung einer quadratischen Matrix über einem perfekten Körper; die Galoiskorrespondenz (zunächst Formulierung des Resultats)

30.6.2004:   Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers und Anwendung zur Klassifikation der endlichen Körper, Studium der Automorphismengruppe einer Körpererweiterung, Galoiserweiterungen und Galoisgruppen: separable Polynome und separable Elemente einer Körpererweiterung, Existenz von Automorphismen, der Zerfällungskörper eines separablen Polynoms

23.6.2004:   Klausur

16.6.2004:   Elementarteiler von Begleitmatrizen, natürliche und rationale Normalform einer quadratischen Matrix
Weitere Anwendungen der multilinearen Algebra: Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen (die bisher noch nicht bewiesene Eindeutigkeitsaussage)
Galoistheorie (Einführung): algebraische Körpererweiterungen, Erweiterungsgrad (Formel für eine Kette von Körpererweiterungen), Zerfällungskörper

9.6.2004:   Basen äußerer Potenzen freier Moduln von endlichem Rang;
Elementarteilertheorie: Ordnung eines Homomorphismus, Determinantenideale von Endomorphismen, Elementarteiler und Determinantenteiler eines Vektorraumhomomorphismus (Eigenschaften, Eindeutigkeit); Eindeutigkeit der Jordanschen Normalform

2.6.2004:   Tensorprodukte, alternierende multilineare Abbildungen, äußere Potenzen und äußere Algebra, Funktorialität der äußeren Potenz; Kroneckerprodukt von Matrizen

26.5.2004:   Beweis des Satzes zur Existenz der jordanschen Form als Spezialfall eines Struktursatzes für Torsionsmoduln über dem Polynomring K[X] in einer Unbestimmten über dem Körper K
Multilineare Algebra: Definition des Tensorprodukts durch eine Universaleigenschaft; Konstruktion im Spezialfall (freie Moduln); Tensorprodukt von Modulhomomorphismen

19.5.2004:   Torsionsmoduln, Beschreibung der Struktur eines K-Vektorraumes als K[X]-Modul mit der Multiplikation, die durch einen Endomorphismus definiert wird; Existenz der Jordanform einer Matrix über den komplexen Zahlen (Hinweis: Zur Wiederholung finden Sie unten ein Material aus der linearen Algebra)

12.5.2004:   weiteres Studium der Präsentationen von Moduln; noethersche Ringe und Moduln, Untermoduln endlich erzeugter Moduln über einem noetherschen Ring sind ebenfalls endlich erzeugt;

5.5.2004:   freie Moduln, Rang eines freien Moduls (Rechtfertigung des Begriffs durch nachfolgende Eigenschaften); Faktorringe nach Maximalidealen sind Körper, Faktorisierung nach Untermoduln direkter Summanden (vgl. Aufgabe 4.5), jeder Ring (!=0) besitzt ein Maximalideal; Prinzip der linearen Fortsetzung, linear unabhängige Familien, Basen; exakte Folgen und Präsentationen von Moduln; Präsentationsmatrix; Algorithmus zur Beschreibung einer durch eine Präsentationsmatrix gegebenen abelschen Gruppe als direkte Summe zyklischer Gruppen

28.4.2004:   Untermoduln, Bild und Kern eines Homomorphismus, Linearkombinationen, von einer Teilmenge erzeuger Untermodul eines Moduls, Summe (einer Familie) von Untermoduln, direkte Summe (einer Familie) von Untermoduln, äußere direkte Summe als Untermodul des Produkts, Projektionen und direkte Summen; Faktormoduln und Homomorphiesatz

21.4.2004:   Fortsetzung Kategorientheorie (kommutative Diagramme, Produkte - Definition mittels Universaleigenschaft, additive Kategorien und additive Funktoren)
Kategorie der Moduln über einem kommutativen Ring (R-Moduln, erste Eigenschaften, Homomorphismen)

14.4.2004:   Kategorien und Funktoren - eine Technik zur Formulierung mathematischer Sachverhalte:
Begriff der Kategorie (Objekte, Morphismen, Identitäten), erste Beispiele, Funktoren, spezielle Eigenschaften von Objekten und Morphismen (Isomorphismen, Monomorphismen, Epimorphismen, initiale und terminale Objekte)

Wir verwenden Kenntnisse aus den ersten beiden Semestern. Die erste Übung wiederholt beispielsweise den Begriff der Gruppe (Untergruppen, Homomorphismen, normale Untergruppen, Faktorgruppen, Homomorphiesatz). Dabei können Sie die folgenden Materialien aus "Lineare Algebra individuell" verwenden (wird nach Bedarf ergänzt):

• Gruppen (PS, PDF)

• Ringe und Körper, Teilbarkeitslehre (PS, PDF)

• Der Homomorphiesatz für Ringe(PS, PDF)

• Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X] (PS, PDF)

• Zur jordanschen Normalform (PS, PDF)

• Tensorprodukt (PS, PDF)