M. Roczen:

ALGEBRA I     (Sommersemester 2004)

Voraussetzungen:
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I, II

Inhalt: Struktur endlich erzeugter Moduln �ber Hauptidealringen, Anwendung auf die Klassifikation von Endomorphismen endlichdimensionaler Vektorr�ume, endliche K�rpererweiterungen und Grundlagen der Galoistheorie.

�bungen: 2 SWS
UE 1: Mi 15.00 Uhr, RUD 25, 4.007
UE 2: Do 13.15 Uhr, RUD 25, 1.011

Literatur:
Artin, M.: Algebra
Roczen, M., Wolter, H.: Lineare Algebra - individuell

Nachfolgend finden Sie aktuelle Informationen zum Stoff der Vorlesung und zu Aufgaben, Klausuren, Pr�fungen.

Klausurtermin: 23.6.04 (in der Vorlesungszeit); die Ergebnisse sind Bestandteil der Bewertung f�r den �bungsschein.

Nach der Klausur finden Sie hier Ihre pers�nlichen Aufgaben mit L�sungen (am Ende der betr. Datei, nummeriert nach Aufgabenexemplaren):
Aufgabe 1, 2 ( PS   PDF ), Aufgabe 3, 4 ( PS   PDF ), Aufgabe 5 ( PS   PDF )

Sie k�nnen den Ausdruck auch nach den �bungen einsehen, sobald die Korrekturen vorliegen.

Sie sollten sich an den unten angegebenen Stichpunkten zum "Stoff der Vorlesung" orientieren.

Auf wiederholte Anfrage folgen noch einige Hinweise zu den Vorkenntnissen:
Grundausbildung "Lineare Algebra I, II": Schwerpunkte zur Wiederholung.

14.7.2004:   Satz vom primitiven Element, Beweis f�r den Hauptsatz der Galoistheorie; Ausblick auf Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal sowie L�sbarkeit von Gleichungen durch Radikale.

7.7.2004:   Charakterisierung der Galoiserweiterungen als Zerf�llungsk�rper separabler Polynome; perfekte K�rper; Jordanzerlegung einer quadratischen Matrix �ber einem perfekten K�rper; die Galoiskorrespondenz (zun�chst Formulierung des Resultats)

30.6.2004:   Eindeutigkeit des Zerf�llungsk�rpers und Anwendung zur Klassifikation der endlichen K�rper, Studium der Automorphismengruppe einer K�rpererweiterung, Galoiserweiterungen und Galoisgruppen: separable Polynome und separable Elemente einer K�rpererweiterung, Existenz von Automorphismen, der Zerf�llungsk�rper eines separablen Polynoms

23.6.2004:   Klausur

16.6.2004:   Elementarteiler von Begleitmatrizen, nat�rliche und rationale Normalform einer quadratischen Matrix
Weitere Anwendungen der multilinearen Algebra: Hauptsatz �ber endlich erzeugte abelsche Gruppen (die bisher noch nicht bewiesene Eindeutigkeitsaussage)
Galoistheorie (Einf�hrung): algebraische K�rpererweiterungen, Erweiterungsgrad (Formel f�r eine Kette von K�rpererweiterungen), Zerf�llungsk�rper

9.6.2004:   Basen �u�erer Potenzen freier Moduln von endlichem Rang;
Elementarteilertheorie: Ordnung eines Homomorphismus, Determinantenideale von Endomorphismen, Elementarteiler und Determinantenteiler eines Vektorraumhomomorphismus (Eigenschaften, Eindeutigkeit); Eindeutigkeit der Jordanschen Normalform

2.6.2004:   Tensorprodukte, alternierende multilineare Abbildungen, �u�ere Potenzen und �u�ere Algebra, Funktorialit�t der �u�eren Potenz; Kroneckerprodukt von Matrizen

26.5.2004:   Beweis des Satzes zur Existenz der jordanschen Form als Spezialfall eines Struktursatzes f�r Torsionsmoduln �ber dem Polynomring K[X] in einer Unbestimmten �ber dem K�rper K
Multilineare Algebra: Definition des Tensorprodukts durch eine Universaleigenschaft; Konstruktion im Spezialfall (freie Moduln); Tensorprodukt von Modulhomomorphismen

19.5.2004:   Torsionsmoduln, Beschreibung der Struktur eines K-Vektorraumes als K[X]-Modul mit der Multiplikation, die durch einen Endomorphismus definiert wird; Existenz der Jordanform einer Matrix �ber den komplexen Zahlen (Hinweis: Zur Wiederholung finden Sie unten ein Material aus der linearen Algebra)

12.5.2004:   weiteres Studium der Pr�sentationen von Moduln; noethersche Ringe und Moduln, Untermoduln endlich erzeugter Moduln �ber einem noetherschen Ring sind ebenfalls endlich erzeugt;

5.5.2004:   freie Moduln, Rang eines freien Moduls (Rechtfertigung des Begriffs durch nachfolgende Eigenschaften); Faktorringe nach Maximalidealen sind K�rper, Faktorisierung nach Untermoduln direkter Summanden (vgl. Aufgabe 4.5), jeder Ring (!=0) besitzt ein Maximalideal; Prinzip der linearen Fortsetzung, linear unabh�ngige Familien, Basen; exakte Folgen und Pr�sentationen von Moduln; Pr�sentationsmatrix; Algorithmus zur Beschreibung einer durch eine Pr�sentationsmatrix gegebenen abelschen Gruppe als direkte Summe zyklischer Gruppen

28.4.2004:   Untermoduln, Bild und Kern eines Homomorphismus, Linearkombinationen, von einer Teilmenge erzeuger Untermodul eines Moduls, Summe (einer Familie) von Untermoduln, direkte Summe (einer Familie) von Untermoduln, �u�ere direkte Summe als Untermodul des Produkts, Projektionen und direkte Summen; Faktormoduln und Homomorphiesatz

21.4.2004:   Fortsetzung Kategorientheorie (kommutative Diagramme, Produkte - Definition mittels Universaleigenschaft, additive Kategorien und additive Funktoren)
Kategorie der Moduln �ber einem kommutativen Ring (R-Moduln, erste Eigenschaften, Homomorphismen)

14.4.2004:   Kategorien und Funktoren - eine Technik zur Formulierung mathematischer Sachverhalte:
Begriff der Kategorie (Objekte, Morphismen, Identit�ten), erste Beispiele, Funktoren, spezielle Eigenschaften von Objekten und Morphismen (Isomorphismen, Monomorphismen, Epimorphismen, initiale und terminale Objekte)

Wir verwenden Kenntnisse aus den ersten beiden Semestern. Die erste �bung wiederholt beispielsweise den Begriff der Gruppe (Untergruppen, Homomorphismen, normale Untergruppen, Faktorgruppen, Homomorphiesatz). Dabei k�nnen Sie die folgenden Materialien aus "Lineare Algebra individuell" verwenden (wird nach Bedarf erg�nzt):

• Gruppen (PS, PDF)

• Ringe und K�rper, Teilbarkeitslehre (PS, PDF)

• Der Homomorphiesatz f�r Ringe(PS, PDF)

• Teilbarkeitslehre im Polynomring K[X] (PS, PDF)

• Zur jordanschen Normalform (PS, PDF)

• Tensorprodukt (PS, PDF)