Kirby-Kalkül
2 Stunden Vorlesung + 2 Stunden Übung
Marc Kegel
Sommersemester 2018
Vorlesung: Montags 16:00-17:30 im MI-Hörsaal
Veranstaltungsnummer: 14722.0112
Beginn: 9. April
Übung: Donnerstags 12:15-13:45 im Seminarraum 1
Veranstaltungsnummer: 14722.0113
Beginn: 12. April
Wichtig: Die Übungen am 10.5. (Christi Himmelfahrt), am 17.5. (BGHK-Seminar) und am 31.5. (Fronleichnam) entfallen.
Stattdessen werden Dienstags am 8.5., am 15.5. und am 29.5. jeweils 16:00-17:30 im MI-Hörsaal Ersatzübungstermine angeboten.
Wichtig: Die Vorlesung am 2.7. entfällt wegen des WM-Achtelfinales ohne Deutsche Beteiligung.
Ein Ersatzvorlesungstermin wird stattdessen am 28.6. von 12:15 bis 13:45 im Seminarraum 1 angeboten.
Wichtig: Aufgrund von "Problemen mit den Toiletten" ist das Institut am 9.7. vollständig gesperrt. Deswegen entfällt auch die Vorlesung an diesem Tag.
Ein Ersatzvorlesungstermin wird stattdessen am 17.7. von 16:00-17:30 im MI-Hörsaal angeboten.
Prüfung: Die Abschlußprüfung findet in Form einer mündlichen Prüfung Morgens am Montag den 23.7. statt.
Kriterium für die Zulassung
zur Abschlußprüfung: 50% der Übungsaufgaben
sinnvoll bearbeitet.
Das Ziel des Kirby-Kalküls, benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Robion Kirby, ist es glatte kompakte 4-Mannigfaltigkeiten durch Zerlegung in einfache Stücke zu untersuchen. Diese
einfachen Stücke, sogenannte Henkel, sind (nach Glättung der Ecken) alle diffeomorph zu Bällen. Die gesamte Information über die ursprüngliche 4-Mannigfaltigkeit ist also in den
Verklebeabbildungen dieser einfachen Stücke kodiert.
Zuerst werden wir dasselbe Vorgehen eine Dimension tiefer untersuchen. Dies wird dann zum Begriff eines Heegaard-Diagramms einer 3-Mannigfaltigkeit führen, ein 2-dimensionales Diagramm,
in dem die gesamte Information der 3-Mannigfaltigkeit kodiert ist.
Eine Dimension höher werden wir die gesamte Information einer glatten kompakten 4-Mannigfaltigkeiten (oder ihres 3-dimensionalen Randes) in einem sogenannten Kirby-Diagramm darstellen. Als
Kirby-Kalkül werden dann ganz allgemein die Modifikationen solcher Diagramme bezeichnet, welche den Diffeomorphietyp der entsprechenden 4-Mannigfaltigkeiten (oder ihres 3-dimensionalen
Randes) nicht ändern.
Diese Vorlesung richtet sich an Studenten der Mathematik (Bachelor, Master und Lehramststudiengänge) mit Grundkenntnissen in Topologie und kann auch als Vorbereitung auf eine
Abschlussarbeit in der Arbeitsgruppe Geiges dienen. In Verbindung mit einer kleinen Hausarbeit kann diese Vorlesung auch als Prüfungsfach entsprechend einer 4-stündigen Vorlesung gewählt
werden.
Vorraussetzungen: Anfängervorlesungen (Analysis I und II und Lineare Algrebra I und II) und Topologie.
Übungsblätter:
Übungsblatt 1 (pdf) (Ein Fehler in der Definition des komplex Projektiven Raumes in Aufgabe 1 (10) wurde verbessert.)
Übungsblatt 2 (pdf)
Übungsblatt 3 (pdf)
Übungsblatt 4 (pdf)
Übungsblatt 5 (pdf)
Übungsblatt 6 (pdf) (Aufgabe 1 (a) und 2 (b) wurden leicht geändert.)
Übungsblatt 7 (pdf) (Aufgabe 2 (b) war so nicht lösbar und wurde entfernt. Jeder hat für diese Aufgabe die volle Punktzahl erhalten.)
Übungsblatt 8 (pdf)
Übungsblatt 9 (pdf)
Übungsblatt 10 (pdf)
Übungsblatt 11 (pdf)
Übungsblatt 12 (pdf)
Bonusblatt (pdf) Dieses Blatt muss nicht abgegeben werden und gibt auch keine Punkte.
Hausarbeiten zur Vorlesung:
Bernhard Albach: Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten (pdf)
Zusammenfassung: In dieser Hausarbeit werden wir mittels Chirurgie beweisen, dass jede 3-dimensionale,
orientierte, glatte und geschlossene Mannigfaltigkeit eine 2-dimensionale Blätterung besitzt.
Franziska Frede: Nicht-destabilisierbare Heegaard-Zerlegungen (pdf)
Zusammenfassung: Wir diskutieren und beweisen am Beispiel der verbundenen Summe des Linsenraums L(7,3) mit sich selbst die Existenz von nicht-destabilisierbaren Heegaard-Zerlegungen desselben Geschlechts,
die homöomorphe Mannigfaltigkeiten beschreiben, jedoch nicht isotop sind.
Konstantin Müller: Heegaard- und Henkelzerlegungen von 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand (pdf)
Zusammenfassung: Wir diskutieren Heegaard-Zerlegungen von zusammenhängenden, geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand und beweisen deren Existenz.
Außerdem betrachten wir Henkelzerlegungen von geschlossenen, orientierbaren n-Mannigfaltigkeiten mit nicht-leerem Rand und beweisen, dass diese immer eine Henkelzerlegung ohne n-Henkel besitzen.
Laura Maria Poreschack: Homologie und Henkelzerlegungen (pdf)
Zusammenfassung: In dieser Hausarbeit werden wir die Homologie einer orientierten, geschlossenen Mannigfaltigkeit über eine Henkelzerlegung einführen und die Invarianz der
Homologie mittels des Satzes von Cerf beweisen.
Lennart Struth: Hakens Lemma (pdf)
Zusammenfassung: Ziel dieser Arbeit ist es, Kompression von Flächen in 3-Mannigfaltigkeiten zu diskutieren und mithilfe dieser das sogenannte Lemma von Haken zu beweisen.
Dieses besagt, dass jede Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen, orientierbaren und reduziblen 3-Mannigfaltigkeit reduzibel ist, das heißt, dass es eine einfach geschlossene Kurve auf der Heegaard-Fläche gibt,
die in den Henkelkörpern jeweils eine Scheibe berandet. Als Anwendungen dieser Aussage zeigen wir die Additivität des Heegaard-Geschlechts unter verbundener Summe und die Existenz einer Primfaktorzerlegung.
Lehrevaluation: Die Resultate der Evaluation sind hier zu finden: pdf
Inhaltsverzeichnis:
1. Überblick:
2. Mannigfaltigkeiten und Henkelzerlegungen:
2.1. Mannigfaltigkeiten
2.2. Henkelzerlegungen
3. Dimension 3: Heegaard-Zerlegungen:
3.1. Heegaard-Diagramme
3.2. Henkelbewegungen und Stabilisierungen
4. Dimension 4: Kirby-Diagramme:
4.1. Kirby-Diagramme
4.2. Verschlingungszahlen und Rahmungen
4.3. Die Schnittform und die Homologie von 2-Henkelkörpern
4.4. Topologische 4-Mannigfaltigkeiten
5. Kirby-Kalkül:
5.1. Henkelbewegungen
5.2. Henkelaufhebungen
6. Dehn-Chirurgie:
6.1. Chirurgie und Henkelkörper
6.2. Dehn-Chirurgie
6.3. Kirbys Theorem
7. Stabilisierungssätze für einfach zusammenhängende 4-Mannigfaltigkeiten
8. Die punktierte Kreisschreibweise von 1-Henkeln
9. Dreiteilungen und Morse-2-Funktionen
10. Kobordismen:
10.1. Der Kobordismenring
10.2. Das H-Kobordismen-Theorem und die Poincaré-Vermutung
11. Exotische 4-Mannigfaltigkeiten
11.1. Scheibenknoten
11.2. Die Bennequin-Schranke
11.3. Exotische Kopien von R4
11.4. Die Adjunktsionsungleichung
11.5. Kompakte exotische 4-Mannigfaltigkeiten
Literatur:
Wir werden hauptsächlich Kapitel 4 und 5 aus dem Standardwerk von Gompf und Stipsicz folgen:
R. Gompf und A. Stipsicz: 4-Manifolds and Kirby Calculus, American Mathematical Society, 1999.
Weitere Referenzen zum Kirby-Kalkül:
S. Akbulut: 4-manifolds, Oxford University Press, 2016.
H. Geiges: Chirurgie, Manuskript der Vorlesung im SS 2007.
H. Geiges: How to depict 5-dimensional manifolds, Jahresbericht der DMV, 2017.
R. Kirby: The Topology of 4-Manifolds, Springer-Verlag, 1989.
Mit Anwendungen in Kontaktgeometrie und symplectischer Geometrie:
B. Ozbagci und A. Stipsicz: Surgery on Contact 3-Manifolds and Stein Surfaces, Springer-Verlag, 2004.
3-Mannigfaltigkeiten, Heegaard-Zerlegungen und Chirurgiebeschreibungen:
V. Prasolov und A. Sossinsky: Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, AMS, 1997.
D. Rolfsen: Knots and Links, Publish or Perish, 1976.
Allgemein zu 4-Mannigfaltigkeiten:
A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, AMS, 2005.
Dreiteilungen:
D. Gay und R. Kirby: Trisecting 4-manifolds, Geom. Topol., 20 (2016), 3097-3132.
Morse-Theorie:
Y. Matsumoto: An Introduction to Morse Theory, American Mathematical Society, 2002.
J. Milnor: Morse Theory, Princeton University Press, 1963.
Differentialtopologie:
T. Bröcker, K. Jänich: Einführung in die Differentialtopologie, Springer.
H. Geiges: Differentialtopologie I und II, Vorlesungsmanuskript.
Algebraische Topologie:
A. Hatcher: Algebraic topology, erhältlich online hier.
S. Friedl: Skript zur algebraischen Topologie I-III, Regensburg 2016-2018, erhältlich online hier.
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