Seminar zur Differentialtopologie

Marc Kegel

Wintersemester 2018/2019

Dienstags 9:15-10:45 in Raum 3.008 (Rudower Chaussee 25)

Veranstaltungsnummer: 3314428


Inhalt: Die Differentialtopologie ist das Studium von sogenannten Mannigfaltigkeiten und glatten Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind topologische R�ume, die lokal wie der Euklidische Raum aussehen. Solche R�ume treten in vielen verschiedenen Bereichen nat�rlich auf, zum Beispiel als Riemannsche Fl�chen in der Funktionentheorie, als Konfigurationsr�ume von Gelenken, als Lie-Gruppen in der Algebra und der Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativit�tstheorie, als Phasenr�ume und Energiehyperfl�chen in der klassischen Mechanik usw. In solchen Beispielen tragen Mannigfaltigkeiten oft eine zus�tzliche geometrische Struktur, wie zum Beispiel eine Riemannsche Metrik, eine komplexe oder symplektische Struktur. In der Differentialtopologie studiert man differenzierbare Mannigfaltigkeiten an sich, ohne diese weiteren Strukturen zu ber�cksichtigen.

In diesem Seminar wollen wir Milnors Meisterwerk "Topology from the Differential Viewpoint" [M] folgen und zuerst die notwendigen Grundlagen der Differentialtopologie erarbeiten und uns dann mit einigen anschaulichen aber nicht trivialen S�tzen der Differentialtopologie besch�ftigen. Anders als sonst oft �blich benutzt Milnor keine Kombinatorik oder Algebra um solche tiefen topologischen Resultate zu beweisen, sondern bedient sich nur elementaren Techniken der Analysis aus den Grundvorlesungen. Dabei spielt eine elegante differentialtopologische Definition des Brouwerschen Abbildungsgrads einer glatten Abbildung die Hauptrolle.

Mithilfe dieser Definition des Abbildungsgrads (oder �hnlichen Techniken) werden wir zum Beispiel den Brouwerschen Fixpunktsatz beweisen, der besagt, dass jede glatte Abbildung einer n-Scheibe auf sich selbst mindestens einen Fixpunkt haben muss, und einen Satz von Hopf diskutieren, nach dem zwei stetige Abbildungen einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit in die n-Sph�re genau dann homotop sind, wenn sie den gleichen Abbildungsgrad haben. Weiter werden wir einen �berraschenden Zusammenhang zwischen den Nullstellen eines Vektorfeldes und der Euler-Charakteristik herstellen.

Voraussetzungen: Vorausgesetzt werden etwas mengentheoretische Topologie und elementare Analysis im Rahmen der Anf�ngervorlesungen.
Grundkenntnisse in Topologie (z.B. im Umfang der Vorlesung Topologie I von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester) sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich.

Zielgruppe: Die Zielgruppe dieses Seminars sind Studierende aus dem Monobachelorstudiengang (ca. 5. Semester), die ihre Kenntnisse aus der Vorlesung Topologie I von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester vertiefen m�chten. Notwendig f�r die Teilnahme und das Verst�ndnis dieses Seminars sind aber nur die Anf�ngervorlesungen, weswegen auch alle anderen Studierenden mit Interesse an Topologie willkommen sind.

Erg�nzend zu diesem Seminar (aber unabh�ngig davon) bieten sich die Vorlesung Topologie II von Prof. Chris Wendl, in der unter anderem der Abbildungsgrad auch aus homologischer Seite beleuchtet wird, sowie die Vorlesung Differentialgeometrie I von Prof. Helga Baum an, in der haupts�chlich die Eigenschaften von Riemannsche Metriken auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten studiert werden.

Sprache: Das Seminar kann auf Wunsch der Teilnehmer auch auf Englisch angeboten werden.

Um Studienpunkte f�r dieses Seminar zu erhalten, sollte man einen Vortrag (nicht l�nger als 90 Minuten) halten und gut leserliche Vortragsnotizen bis sp�testens eine Woche nach seinem Vortrag einreichen.

Announcements:


Vortr�ge:
16.10.18 Vorbesprechung und Vergabe der Themen
23.10.18 Glatte Mannigfaltigkeiten [Mi, Seiten 1-7], [GP, Abschnitt 1.1-1.3], scanned notes (pdf)
Anke-Bilke Bianchi
30.10.18 Regul�re Werte und der Brouwersche Fixpunktsatz [Mi, Seiten 7-15], [GP, Abschnitt 2.1-2.2], scanned notes (pdf)
Konstantin Krenz
06.11.18 Der Abbildungsgrad modulo 2 [Mi, Kapitel 4], [GP Abschnitt 2.4], scanned notes (pdf)
Karl Lehrer
13.11.18 Orientierung und ganzzahliger Abbildungsgrad [Mi, Kapitel 5], [GP, Abschnitt 3.1-3.3], scanned notes (pdf)
Max Weiss
20.11.18 Vektorfelder und die Euler-Charakteristik [Mi, Kapitel 6], [GP, Abschnitt 3.5 und 3.7], scanned notes (pdf)
Fethi Ayaz
27.11.18 Die Pontrjagin-Konstruktion [Mi, Kapitel 7], [GP, Abschnitt 3.6], scanned notes (pdf)
Jens L�cke
04.12.18 Transversalit�t [GP, Abschnitt 1.5 und 2.3], scanned notes (pdf)
Anh Duc Vu
11.12.18 Der Jordansche Kurvensatz und der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz [GP, Abschnitt 2.5], scanned notes (pdf)
Laetitia de Abreu Nunes
18.12.18 Der Satz von Borsuk-Ulam [GP, Abschnitt 2.6], [Ma, Abschnitt 2.1, 2.2 und 3.1], scanned notes (pdf)
Léo Duc
08.01.19 Die Fixpunktformel von Lefschetz [GP, Abschnitt 3.4], scanned notes (pdf)
Sarah Pestkowski
15.01.19 Nash-Gleichgewichte [Na], scanned notes (pdf)
Catalina Jurja
22.01.19 Beweis des Satzes von Sard [BJ, Kapitel 6], [Mi, Kapitel 3], [GP Abschnitt 1.7], scanned notes (pdf)
Tillmann Cebulla
29.01.19 Abstrakte Mannigfaltigkeiten [BJ, Kapitel 1 und 2], scanned notes (pdf)
Hannes Driebusch
05.02.19 Der Einbettungssatz von Whitney I [Hi, Abschnitt 1.3], scanned notes (pdf)
Elif Selcen �ndar
12.02.19 Der Einbettungssatz von Whitney II [GP, Abschnitt 1.8], scanned notes (pdf)
Lev Chechulin
13.02.19 9:00-10:30 in RUD 25, Raum 1.114
Das Whitney-Graustein Theorem und die Umst�lpung der 2-Sph�re [Wh], [BB], [Le], scanned notes (pdf)
Paulina Bock de Barillas




Literatur:
Wir werden haupts�chlich dem Buch von Milnor [Mi] folgen. Zus�tzliches Material ist in dem Buch von Guillemin und Pollack [GP] zu finden.
[BB] A. Bednorz and W. Bednorz, Analytic sphere eversion with minimum of topological events, arXiv:1711.10466.
[BJ] T. Br�cker und K. J�nich, Einf�hrung in die Differentialtopologie, Springer, 1973.
[GP] V. Guillemin and A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, 1974.
[Hi] M. Hirsch, Differential topology, Springer, 1976.
[Le] S. Levy, Making Waves: A Guide to the Ideas Behind Outside In, www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/.
[Ma] J. Matoušek, Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer, 2003.
[Mi] J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, 1965.
[Na] J. Nash, Non-cooperative games, Ann. of Math. (2), 54 (1951), 286-295.
[Wh] H. Whitney, On regular closed curves in the plane, Compositio Math., 4 (1937), 276-284.



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