Seminar zur Differentialtopologie

Marc Kegel

Wintersemester 2018/2019

Dienstags 9:15-10:45 in Raum 3.008 (Rudower Chaussee 25)

Veranstaltungsnummer: 3314428


Inhalt: Die Differentialtopologie ist das Studium von sogenannten Mannigfaltigkeiten und glatten Abbildungen zwischen diesen. Mannigfaltigkeiten sind topologische Räume, die lokal wie der Euklidische Raum aussehen. Solche Räume treten in vielen verschiedenen Bereichen natürlich auf, zum Beispiel als Riemannsche Flächen in der Funktionentheorie, als Konfigurationsräume von Gelenken, als Lie-Gruppen in der Algebra und der Geometrie, als Raum-Zeit in der Relativitätstheorie, als Phasenräume und Energiehyperflächen in der klassischen Mechanik usw. In solchen Beispielen tragen Mannigfaltigkeiten oft eine zusätzliche geometrische Struktur, wie zum Beispiel eine Riemannsche Metrik, eine komplexe oder symplektische Struktur. In der Differentialtopologie studiert man differenzierbare Mannigfaltigkeiten an sich, ohne diese weiteren Strukturen zu berücksichtigen.

In diesem Seminar wollen wir Milnors Meisterwerk "Topology from the Differential Viewpoint" [M] folgen und zuerst die notwendigen Grundlagen der Differentialtopologie erarbeiten und uns dann mit einigen anschaulichen aber nicht trivialen Sätzen der Differentialtopologie beschäftigen. Anders als sonst oft üblich benutzt Milnor keine Kombinatorik oder Algebra um solche tiefen topologischen Resultate zu beweisen, sondern bedient sich nur elementaren Techniken der Analysis aus den Grundvorlesungen. Dabei spielt eine elegante differentialtopologische Definition des Brouwerschen Abbildungsgrads einer glatten Abbildung die Hauptrolle.

Mithilfe dieser Definition des Abbildungsgrads (oder ähnlichen Techniken) werden wir zum Beispiel den Brouwerschen Fixpunktsatz beweisen, der besagt, dass jede glatte Abbildung einer n-Scheibe auf sich selbst mindestens einen Fixpunkt haben muss, und einen Satz von Hopf diskutieren, nach dem zwei stetige Abbildungen einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit in die n-Sphäre genau dann homotop sind, wenn sie den gleichen Abbildungsgrad haben. Weiter werden wir einen überraschenden Zusammenhang zwischen den Nullstellen eines Vektorfeldes und der Euler-Charakteristik herstellen.

Voraussetzungen: Vorausgesetzt werden etwas mengentheoretische Topologie und elementare Analysis im Rahmen der Anfängervorlesungen.
Grundkenntnisse in Topologie (z.B. im Umfang der Vorlesung Topologie I von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester) sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich.

Zielgruppe: Die Zielgruppe dieses Seminars sind Studierende aus dem Monobachelorstudiengang (ca. 5. Semester), die ihre Kenntnisse aus der Vorlesung Topologie I von Prof. Chris Wendl aus dem letzten Semester vertiefen möchten. Notwendig für die Teilnahme und das Verständnis dieses Seminars sind aber nur die Anfängervorlesungen, weswegen auch alle anderen Studierenden mit Interesse an Topologie willkommen sind.

Ergänzend zu diesem Seminar (aber unabhängig davon) bieten sich die Vorlesung Topologie II von Prof. Chris Wendl, in der unter anderem der Abbildungsgrad auch aus homologischer Seite beleuchtet wird, sowie die Vorlesung Differentialgeometrie I von Prof. Helga Baum an, in der hauptsächlich die Eigenschaften von Riemannsche Metriken auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten studiert werden.

Sprache: Das Seminar kann auf Wunsch der Teilnehmer auch auf Englisch angeboten werden.

Um Studienpunkte für dieses Seminar zu erhalten, sollte man einen Vortrag (nicht länger als 90 Minuten) halten und gut leserliche Vortragsnotizen bis spätestens eine Woche nach seinem Vortrag einreichen.

Announcements:


Vorträge:
16.10.18 Vorbesprechung und Vergabe der Themen
23.10.18 Glatte Mannigfaltigkeiten [Mi, Seiten 1-7], [GP, Abschnitt 1.1-1.3], scanned notes (pdf)
Anke-Bilke Bianchi
30.10.18 Reguläre Werte und der Brouwersche Fixpunktsatz [Mi, Seiten 7-15], [GP, Abschnitt 2.1-2.2], scanned notes (pdf)
Konstantin Krenz
06.11.18 Der Abbildungsgrad modulo 2 [Mi, Kapitel 4], [GP Abschnitt 2.4], scanned notes (pdf)
Karl Lehrer
13.11.18 Orientierung und ganzzahliger Abbildungsgrad [Mi, Kapitel 5], [GP, Abschnitt 3.1-3.3], scanned notes (pdf)
Max Weiss
20.11.18 Vektorfelder und die Euler-Charakteristik [Mi, Kapitel 6], [GP, Abschnitt 3.5 und 3.7], scanned notes (pdf)
Fethi Ayaz
27.11.18 Die Pontrjagin-Konstruktion [Mi, Kapitel 7], [GP, Abschnitt 3.6], scanned notes (pdf)
Jens Lücke
04.12.18 Transversalität [GP, Abschnitt 1.5 und 2.3], scanned notes (pdf)
Anh Duc Vu
11.12.18 Der Jordansche Kurvensatz und der Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz [GP, Abschnitt 2.5], scanned notes (pdf)
Laetitia de Abreu Nunes
18.12.18 Der Satz von Borsuk-Ulam [GP, Abschnitt 2.6], [Ma, Abschnitt 2.1, 2.2 und 3.1], scanned notes (pdf)
Léo Duc
08.01.19 Die Fixpunktformel von Lefschetz [GP, Abschnitt 3.4], scanned notes (pdf)
Sarah Pestkowski
15.01.19 Nash-Gleichgewichte [Na], scanned notes (pdf)
Catalina Jurja
22.01.19 Beweis des Satzes von Sard [BJ, Kapitel 6], [Mi, Kapitel 3], [GP Abschnitt 1.7], scanned notes (pdf)
Tillmann Cebulla
29.01.19 Abstrakte Mannigfaltigkeiten [BJ, Kapitel 1 und 2], scanned notes (pdf)
Hannes Driebusch
05.02.19 Der Einbettungssatz von Whitney I [Hi, Abschnitt 1.3], scanned notes (pdf)
Elif Selcen Ündar
12.02.19 Der Einbettungssatz von Whitney II [GP, Abschnitt 1.8], scanned notes (pdf)
Lev Chechulin
13.02.19 9:00-10:30 in RUD 25, Raum 1.114
Das Whitney-Graustein Theorem und die Umstülpung der 2-Sphäre [Wh], [BB], [Le], scanned notes (pdf)
Paulina Bock de Barillas




Literatur:
Wir werden hauptsächlich dem Buch von Milnor [Mi] folgen. Zusätzliches Material ist in dem Buch von Guillemin und Pollack [GP] zu finden.
[BB] A. Bednorz and W. Bednorz, Analytic sphere eversion with minimum of topological events, arXiv:1711.10466.
[BJ] T. Bröcker und K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Springer, 1973.
[GP] V. Guillemin and A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, 1974.
[Hi] M. Hirsch, Differential topology, Springer, 1976.
[Le] S. Levy, Making Waves: A Guide to the Ideas Behind Outside In, www.geom.uiuc.edu/docs/outreach/oi/.
[Ma] J. Matoušek, Using the Borsuk-Ulam theorem, Springer, 2003.
[Mi] J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, The University Press of Virginia, 1965.
[Na] J. Nash, Non-cooperative games, Ann. of Math. (2), 54 (1951), 286-295.
[Wh] H. Whitney, On regular closed curves in the plane, Compositio Math., 4 (1937), 276-284.



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